Critère de rupture de Tsai-Wu

Pour les matériaux orthotropes possédant trois plans de symétrie orientés selon les directions des coordonnées, si l'on suppose que ${\displaystyle \textstyle F_{ji}=F_{ij}}$ et qu'il n'y a pas de couplage entre les termes de contrainte normale et de cisaillement (ni entre les termes de cisaillement), la forme générale du critère de rupture de Tsai-Wu se réduit à :

${\displaystyle \Sigma _{i=1,6}\left(F_{i}\sigma _{i}+F_{ii}\sigma _{i}^{2}\right)+2\left(F_{12}\sigma _{1}\sigma _{2}+F_{13}\sigma _{1}\sigma _{3}+F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}\right)\leq 1}$

Soit ${\displaystyle \textstyle \sigma _{1t},\sigma _{1c},\sigma _{2t},\sigma _{2c},\sigma _{3t},\sigma _{3c}}$ les composantes de la résistance à la rupture en traction et compression uniaxiales dans les trois directions d'anisotropie. Supposons également que les résistances au cisaillement dans les trois plans de symétrie sont ${\displaystyle \tau _{23},\tau _{12},\tau _{31}}$ (et ont la même valeur dans un plan, au signe près). Les coefficients du critère de rupture orthotrope de Tsai-Wu sont alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}={\cfrac {1}{\sigma _{1t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{1c}}}~;~~F_{2}={\cfrac {1}{\sigma _{2t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{2c}}}~;~~F_{3}={\cfrac {1}{\sigma _{3t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{3c}}}~;~~F_{4}=F_{5}=F_{6}=0\\F_{11}={\cfrac {1}{\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~F_{22}={\cfrac {1}{\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~F_{33}={\cfrac {1}{\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}~;~~F_{44}={\cfrac {1}{\tau _{23}^{2}}}~;~~F_{55}={\cfrac {1}{\tau _{31}^{2}}}~;~~F_{66}={\cfrac {1}{\tau _{12}^{2}}}\end{aligned}}}$

Les coefficients ${\displaystyle F_{12},F_{13},F_{23}}$ peuvent être déterminés à l'aide d'essais équibiaxiaux. Si les résistances à la rupture en traction équibiaxiale sont ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=\sigma _{b12},\;\sigma _{1}=\sigma _{3}=\sigma _{b13},\;\sigma _{2}=\sigma _{3}=\sigma _{b23}}$ alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{12}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b12}^{2}}}\left[1-\sigma _{b12}(F_{1}+F_{2})-\sigma _{b12}^{2}(F_{11}+F_{22})\right]\\F_{13}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b13}^{2}}}\left[1-\sigma _{b13}(F_{1}+F_{3})-\sigma _{b13}^{2}(F_{11}+F_{33})\right]\\F_{23}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b23}^{2}}}\left[1-\sigma _{b23}(F_{2}+F_{3})-\sigma _{b23}^{2}(F_{22}+F_{33})\right]\end{aligned}}}$

La quasi-impossibilité de réaliser ces essais équibiaxiaux a entraîné un manque important de données expérimentales sur les paramètres ${\displaystyle F_{12},F_{13},F_{23}}$. On utilise plutôt l'approximation suivante, initialement proposée par Tsai^[3] :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{xy}=-{\frac {\sqrt {F_{xx}F_{yy}}}{2}}\end{aligned}}}$

Ceci garantit que le terme d'interaction se situe dans les limites pour lesquelles l'enveloppe de seuil est une ellipse.

On peut démontrer que le critère de Tsai-Wu est un cas particulier du critère de seuil de Hill généralisé (en)^[4].

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Pour un matériau à isotropie transverse, si le plan d'isotropie est (1-2), alors :

${\displaystyle F_{1}=F_{2}\,,\quad F_{4}=F_{5}=F_{6}=0\,,\quad F_{11}=F_{22}\,,\quad F_{44}=F_{55}\,,\quad F_{13}=F_{23}}$

Le critère de défaillance de Tsai-Wu se réduit à :

${\displaystyle F_{2}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}(\sigma _{4}^{2}+\sigma _{5}^{2})+2(F_{11}-F_{12})\sigma _{6}^{2}+2F_{12}\sigma _{1}\sigma _{2}+2F_{23}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\sigma _{3}\leq 1}$

Cette théorie s'applique à une plaque composite unidirectionnelle dont les fibres sont orientées selon la direction (3).

Afin de garantir des surfaces de rupture fermées et ellipsoïdales pour tous les états de contrainte, Tsai et Wu ont également proposé des conditions de stabilité qui prennent la forme suivante pour les matériaux à isotropie transverse :

${\displaystyle F_{22}F_{33}-F_{23}^{2}\geq 0\,,\quad F_{11}^{2}-F_{12}^{2}\geq 0}$

Dans le cas de la contrainte plane avec ${\displaystyle \textstyle \sigma _{1}=\sigma _{5}=\sigma _{6}=0}$ le critère de rupture de Tsai-Wu se réduit à :

${\displaystyle F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}\sigma _{4}^{2}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}\leq 1}$

Les résistances dans les expressions de ${\displaystyle \textstyle F_{i}}$ et ${\displaystyle \textstyle F_{ij}}$ peuvent être interprétées, dans le cas d'une plaque, comme :

• ${\displaystyle \textstyle \sigma _{1c}}$ : résistance à la compression transversale,
• ${\displaystyle \sigma _{1t}}$ : résistance à la traction transversale,
• ${\displaystyle \sigma _{3c}}$ : résistance à la compression longitudinale,
• ${\displaystyle \sigma _{3t}}$ : résistance longitudinale,
• ${\displaystyle \tau _{23}}$ : résistance au cisaillement longitudinal,
• ${\displaystyle \tau _{12}}$ : résistance au cisaillement transversal.

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Le critère de Tsai-Wu pour les mousses de PVC à cellules fermées en conditions de déformation plane peut s'exprimer comme suit :

${\displaystyle F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}=1-k^{2}}$

avec

${\displaystyle F_{23}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {F_{22}F_{33}}}\,,\quad k={\frac {\sigma _{4}}{\tau _{23}}}}$

À titre d'exemple la mousse PVC DIAB Divinycell H250 (densité 250 kg/m³) a les valeurs suivantes : ${\displaystyle \textstyle \sigma _{2c}=4,6~MPa,\;\sigma _{2t}=7,3~MPa,\;\sigma _{3c}=6,3~MPa,\;\sigma _{3t}=10~MPa}$^[5].

Pour les mousses d'aluminium en contrainte plane, une forme simplifiée du critère de Tsai-Wu peut être utilisée si l'on suppose que les résistances à la rupture en traction et en compression sont identiques et qu'il n'y a pas d'effet de cisaillement sur la résistance à la rupture. Ce critère peut s'écrire^[6] :

${\displaystyle 3~{\tilde {J}}_{2}+(\eta ^{2}-1)~{\tilde {I}}_{1}^{2}=\eta ^{2}}$

où ${\displaystyle \textstyle \eta }$ est un facteur de forme et

${\displaystyle {\tilde {J}}_{2}={\tfrac {1}{3}}\left({\cfrac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1c}^{2}}}-{\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1c}\sigma _{2c}}}+{\cfrac {\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{2c}^{2}}}\right)\,,\quad {\tilde {I}}_{1}={\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{1c}}}+{\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{2c}}}}$