Décomposition de Schur

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :

Soient ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel de dimension ${\displaystyle n}$ muni d'un produit scalaire et ${\displaystyle v}$ un endomorphisme sur ${\displaystyle E}$, alors ${\displaystyle \exists (f_{1},...,f_{n})}$ une base orthonormée de ${\displaystyle E}$ et une famille ${\displaystyle (\varphi _{ik})_{1\leq i,k\leq n}\in \mathbb {C} }$ telle que ${\displaystyle \forall i,\;v(f_{i})=\sum _{k=i}^{n}\varphi _{ik}f_{k}}$.

Dans le cas où ${\displaystyle v}$ est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où ${\displaystyle v}$ est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension ${\displaystyle n\geq 1}$ de ${\displaystyle E}$ le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :

Si la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir ${\displaystyle f_{n+1}}$ un vecteur propre normé de ${\displaystyle M_{v}}$. On pose ${\displaystyle F={\text{Vect}}(f_{n+1})^{\perp }}$ et on considère l'application linéaire ${\displaystyle {\tilde {v}}=\pi _{F}\circ v|_{F}}$ où ${\displaystyle \pi _{F}}$ est le projecteur orthogonal sur ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle v|_{F}}$ la restriction de ${\displaystyle v}$ à ${\displaystyle F}$. Comme ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel ${\displaystyle F}$ qui est de dimension ${\displaystyle n}$, l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée ${\displaystyle (f_{1},...,f_{n})}$ de ${\displaystyle F}$ dans laquelle la matrice ${\displaystyle M_{\tilde {v}}}$ associée à ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est triangulaire supérieure. Il est alors clair que ${\displaystyle (f_{1},...,f_{n},f_{n+1})}$ forme une base orthonormée dans laquelle la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ est triangulaire supérieure.

Si la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité ${\displaystyle 0<{\text{rang}}(v)<n+1}$. On pose alors ${\displaystyle F={\text{ker}}(v)^{C}}$ et on considère l'application linéaire ${\displaystyle {\tilde {v}}=\pi _{F}\circ v|_{F}}$ où ${\displaystyle \pi _{F}}$ est le projecteur orthogonal sur ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle v|_{F}}$ la restriction de ${\displaystyle v}$ à ${\displaystyle F}$. Comme ${\displaystyle 1\leq {\text{dim}}(F)={\text{rang}}(v)<n+1}$ on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée ${\displaystyle (f_{1},...,f_{{\text{dim}}(F)})}$ de ${\displaystyle F}$ dans laquelle la matrice ${\displaystyle M_{\tilde {v}}}$ associée à ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée ${\displaystyle (f_{1},...,f_{{\text{dim}}(F)},f_{{\text{dim}}(F)+1},...,f_{n+1})}$ de ${\displaystyle E}$. Comme ${\displaystyle {\text{Vect}}(f_{{\text{dim}}(F)+1},...,f_{n+1})={\text{ker}}(v)}$, il est clair que la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.