Matrice vide

L'espace nul ${\displaystyle K^{0}}$ ne contient qu'un seul élément, le « vecteur vide » (le vecteur n'ayant aucune coordonnée^[5]). Un espace vectoriel ayant nécessairement un élément neutre, ce vecteur vide est le vecteur nul de ${\displaystyle K^{0}}$ noté ${\displaystyle 0_{K^{0}}}$ :

${\displaystyle K^{0}=\{0_{K^{0}}\}}$

L'espace nul est de dimension 0. Soit un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel ${\displaystyle E}$ quelconque. Il n'existe qu'une seule application linéaire de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle K^{0}}$, celle transformant tout vecteur de ${\displaystyle E}$ en ce vecteur nul (c'est l'application nulle). L'ensemble des applications linéaires de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle K^{0}}$ est donc un singleton.

${\displaystyle L(E,K^{0})=\left\{f_{E,K^{0}}\right\}}$ avec

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{E,K^{0}}:&E&\rightarrow &K^{0}\\&x&\mapsto &0_{K^{0}}\end{matrix}}}$

Si l'on appelle ${\displaystyle n}$ la dimension de ${\displaystyle E}$, alors il existe une unique matrice de dimension ${\displaystyle n\times 0}$ qui représente cette application linéaire unique, c'est une matrice vide que l'on pourra noter ${\displaystyle ()_{n,0}}$.

De même, il n'existe qu'une seule application linéaire de ${\displaystyle K^{0}}$ dans ${\displaystyle E}$, l'image de ${\displaystyle K^{0}}$ par cette application étant le vecteur nul de E puisque l'unique élément de ${\displaystyle K^{0}}$ est le vecteur nul (c'est donc également l'application nulle). L'ensemble des applications linéaires de ${\displaystyle K^{0}}$ dans ${\displaystyle E}$ est également un singleton.

${\displaystyle L(K^{0},E)=\left\{f_{K^{0},E}\right\}}$ avec

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{K^{0},E}:&K^{0}&\rightarrow &E\\&x&\mapsto &0_{E}\end{matrix}}}$

Il existe donc une unique matrice de dimension ${\displaystyle 0\times n}$ représentant cette application linéaire, la matrice vide ${\displaystyle ()_{0,n}}$.

En tant que représentant d'une application nulle, une matrice vide est une matrice nulle :

${\displaystyle {\begin{aligned}()_{n,0}=0_{n,0}\\()_{0,n}=0_{0,n}\end{aligned}}}$

La matrice vide de dimension ${\displaystyle 0\times 0}$, notée ${\displaystyle ()_{0,0}}$, représente en particulier l'identité ${\displaystyle \mathrm {Id} _{0}}$ de l'espace nul. C'est donc une matrice inversible (régulière), donc carrée. Elle représente également l'application nulle, donc :

${\displaystyle ()_{0,0}=\mathrm {Id} _{0}=0_{0,0}}$

Dans l'anneau nul des matrices de dimension ${\displaystyle 0\times 0}$, l'unique élément est neutre à la fois pour le produit et pour la somme.

Dans ce qui suit, la notation « () » désigne une matrice vide quelconque.

• l'image de toute matrice vide est réduite au vecteur nul : ${\displaystyle \operatorname {Im} ~()=\{0\}}$ ; le rang de toute matrice vide est donc nul : ${\displaystyle \operatorname {rg} ~()=0}$ ;
• le noyau d'une matrice vide est l'espace tout entier : si ${\displaystyle ()_{n,m}}$ est vide, ${\displaystyle \operatorname {Ker} ~()_{m,n}=K^{m}}$ ;
• la norme de toute matrice vide est nulle : ${\displaystyle \|()\|=0}$;
• la transposée d'une matrice vide est encore vide ;
• le produit dépend de la dimension de la matrice vide considérée : pour une matrice A de dimension ${\displaystyle m\times n}$ et une matrice B de dimension ${\displaystyle n\times p}$, au moins un des entiers ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle p}$ étant nul ; ${\displaystyle AB}$ est une matrice de dimension ${\displaystyle m\times p}$ et donc :
  • si ${\displaystyle m=0}$ , alors ${\displaystyle AB}$ est une matrice de dimension ${\displaystyle 0\times p}$ donc une matrice vide : ${\displaystyle ()_{0,n}\times B=()_{0,p}}$,
  • si ${\displaystyle p=0}$, alors ${\displaystyle AB}$ est une matrice de dimensions ${\displaystyle m\times 0}$, c'est également une matrice vide : ${\displaystyle A\times ()_{n,0}=()_{m,0}}$,
  • mais si ${\displaystyle n=0}$ et si ${\displaystyle m\neq 0}$ et ${\displaystyle p\neq 0}$, alors la matrice ${\displaystyle AB}$ est la matrice nulle de dimension ${\displaystyle m\times p}$

    ${\displaystyle ()_{m,0}\times ()_{0,p}=0_{m,p}}$ ; concrètement, la multiplication des matrices correspond à la composition d'applications linéaires, nous avons ici la composition de deux applications nulles, la résultante est logiquement l'application nulle de l'espace de départ ${\displaystyle K^{p}}$ vers l'espace d'arrivée ${\displaystyle K^{m}}$ ;

L'addition de matrices est une loi de composition interne, les matrices ont donc la même dimension. Ainsi, on ne peut écrire « ${\displaystyle A+()}$ » ou bien « ${\displaystyle ()+A}$ » que si ${\displaystyle A}$ est elle-même une matrice vide identique, le résultat est donc également une matrice vide.

Pour la matrice vide de dimension ${\displaystyle 0\times 0}$ :

• ${\displaystyle ()_{0,0}=I_{0}}$ (matrice identité) donc :
  • la matrice est sa propre inverse : ${\displaystyle ()_{0,0}^{-1}=()_{0,0}}$,
  • la matrice ${\displaystyle ()_{0,0}}$ à valeurs réelles est orthogonale ;
• conditionnement :
  • certains retiennent la convention ${\displaystyle \operatorname {cond} ~()_{0,0}=0}$ par calcul^[2] (puisque la norme est nulle),
  • d'autres retiennent ${\displaystyle \operatorname {cond} ~()_{0,0}=1}$ par application de la notion de conditionnement^[6] (une précision parfaite correspondant à un score de 1 et la matrice vide est une identité, les matrices unités ayant toutes un conditionnement de 1) ;
• déterminant : ${\displaystyle \operatorname {det} ~()_{0,0}=1}$ ; c'est une conséquence de la notion de produit vide dans la formule de Leibniz et c'est cohérent avec le fait que c'est une matrice identité ;
• son polynôme caractéristique est 1 d'après le point précédent ;
• ce polynôme n'a pas de racine donc la matrice n'a pas de valeur propre (et donc pas de vecteur propre) ;
• la matrice vide est nulle donc à la fois symétrique et antisymétrique, et de trace nulle.