De la mesure du cercle

« Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle^[3]. »

Autrement dit : tout cercle de circonférence c et de rayon r a même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition est démontrée par exhaustion^[4].

« Un cercle est au carré construit sur son diamètre, à très peu de chose près, comme 11 est à 14^[3]. »

Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne approximation du nombre π.

Démonstration :

Soit un disque ${\displaystyle d}$ de côté ${\displaystyle r}$ et un carré ${\displaystyle c}$ de côté ${\displaystyle 2\times r}$.

${\displaystyle Aire_{d}=\pi \times {r}^{2}}$

${\displaystyle Aire_{c}={(2\times r)}^{2}=4\times {r}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {Aire_{d}}{Aire_{c}}}={\frac {\pi \times {r}^{2}}{4\times {r}^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\approx {\frac {11}{14}}}$

Ainsi :

${\displaystyle \pi \approx {\frac {4\times 11}{14}}={\frac {22}{7}}}$

« La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les 10/71 de ce même diamètre^[3]. »

Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$ mais supérieur à ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}$.

Cette proposition revient à fournir un encadrement de π. Archimède a trouvé des majorants et minorants de π en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés^[5].

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de √3 et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

${\displaystyle {\tfrac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\tfrac {265}{153}}}$^[4]

Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations^[2]. Cependant la simple expression graphique des fractions continues, exprimée par une suite de rectangles, permet d'obtenir ces mêmes ratios.

Figure géométrique des fractions majorantes et minorantes de racine de 3

Suite des fractions minorantes de racine de 3

Suite des fractions majorantes de racine de 3

• « De la mesure du cercle » : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version image numérique sur le site Gallica de la BNF
• « De la mesure du cercle » : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version texte numérisé par Marc Szwajcer, sur le site L'antiquité grecque et latine du moyen âge de Philippe Remacle et al. (qui contient aussi les traductions des Éléments d'Euclide par le même auteur)
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