Demi-groupe régulier

Les demi-groupes réguliers ont été introduits par James Alexander Green dans son article fondamental « On the structure of semigroups » de 1951^[2]. C'est également dans cet article que sont définies ce que l'on appelle maintenant les relations de Green. Le concept de régularité d'un demi-groupe est l'adaptation de la même notion pour les anneaux déjà considérée par John von Neumann^[3]. Une note en bas de page de l'article de Green mentionne que la notion de régularité a été utilisée pour la première fois dans les demi-groupes par David Rees.

Soit ${\displaystyle S}$ un demi-groupe.

• Un élément ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle S}$ est un pseudo-inverse^[4] d'un élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle S}$ si ${\displaystyle aba=a}$.
• Un élément ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle S}$ est un inverse d'un élément a de ${\displaystyle S}$ si ${\displaystyle aba=a}$ et ${\displaystyle bab=b}$.
  • Notons^[5] que si ${\displaystyle b}$ est un pseudo-inverse de ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle c=bab}$ est un inverse de ${\displaystyle a}$ puisque${\displaystyle aca=ababa=a}$ et ${\displaystyle cac=(bab)a(bab)=b(aba)bab=b(aba)b=bab=c.}$
  • Notons aussi^[6] que si ${\displaystyle b}$ est un inverse de ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle ab}$ et ${\displaystyle ba}$ sont des éléments idempotents de ${\displaystyle S}$, puisque ${\displaystyle (ab)(ab)=(aba)b=ab}$ et de même pour ${\displaystyle ba}$.
• Un élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle S}$ est régulier s'il possède au moins un inverse.
• Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dont tous les éléments sont réguliers.
• Un demi-groupe régulier dont tous les idempotents commutent est un demi-groupe inversif. Les demi-groupes inversifs sont aussi caractérisés par le fait que tous leurs éléments ont un inverse unique^[7],[8]. En revanche, l'unicité de l'inverse n'implique pas l'unicité du pseudo-inverse^[9].

• Un groupe.
• Le demi-groupe bicyclique.
• Le demi-groupe de toutes les fonctions partielles d'un ensemble ${\displaystyle X}$. Pour une fonction ${\displaystyle f}$, de domaine ${\displaystyle A}$ et d'image ${\displaystyle B}$, on prend pour inverse tout fonction ${\displaystyle g}$ de domaine ${\displaystyle B}$ et d'image ${\displaystyle A}$ telle que ${\displaystyle f(g(b))=b}$. Si la fonction ${\displaystyle f}$ est injective, l'inverse est unique.
• L'image homomorphe d'un demi-groupe régulier^[10].

Dans un demi-groupe ${\displaystyle S}$, l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par un élément ${\displaystyle a}$ est l'ensemble ${\displaystyle S^{1}a}$, ${\displaystyle aS^{1}}$, ${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$ respectivement, où ${\displaystyle S^{1}}$ est le monoïde obtenu en ajoutant un élément neutre à S s'il n'en possédait pas déjà un. Les relations de Green sont définies comme suit^[11] :

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$ si et seulement si ${\displaystyle S^{1}a=S^{1}b}$;

${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$ si et seulement si ${\displaystyle aS^{1}=bS^{1}}$;

${\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b}$ si et seulement si ${\displaystyle S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}$.

Dans un demi groupe régulier ${\displaystyle S}$, toute ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-classe et toute ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-classe contient au moins un idempotent. Si ${\displaystyle a}$ est un élément de ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle x}$ est un inverse de ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle a{\mathcal {L}}\,xa}$ et ${\displaystyle a{\mathcal {R}}\,ax}$^[12]. De plus ${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$ si et seulement s'il existe un inverse ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle a}$ et un inverse ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle b}$ tels que ${\displaystyle xa=yb}$^[13].

Dans un demi-groupe inversif, l'idempotent de chaque ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-classe et ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-classe est unique^[8].