Descripteurs aléatoires

La construction repose sur une approximation d'une représentation intégrale du noyau. Soit ${\displaystyle \kappa$ :\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} } un noyau continu et invariant par translation, c.-à-d. de la forme ${\displaystyle \kappa (x,y)=K(x-y)}$. Par le théorème de Bochner, un tel noyau admet une représentation intégrale de la forme

${\displaystyle \kappa (x,y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\exp(i\omega ^{\mathsf {T}}(x-y))\mathrm {d} p(\omega )}$

où ${\displaystyle p}$ est la transformée de Fourier de ${\displaystyle K}$.

Un descripteur aléatoire est une fonction ${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} construite telle que la quantité ${\displaystyle \langle \phi (x),\phi (y)\rangle }$ est une approximation numérique de la représentation intégrale du noyau (uniformément pour tous ${\displaystyle x,y}$).

La définition n'est donc pas unique, mais les descripteurs les plus courants sont obtenus par une approximation de Monte-Carlo de l'intégrale, c.-à-d. reposent sur le tirage de ${\displaystyle f}$ vecteurs de fréquence ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{f}\in \mathbb {R} ^{d}}$ tirés de manière i.i.d. selon ${\displaystyle p}$ :

• ${\displaystyle \phi (x)=f^{-1/2}[\cos(\omega _{1}^{\mathsf {T}}x),\sin(\omega _{1}^{\mathsf {T}}x),\dots ,\cos(\omega _{f}^{\mathsf {T}}x),\sin(\omega _{f}^{\mathsf {T}}x)]^{\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle \phi (x)=f^{-1/2}{\sqrt {2}}[\cos(\omega _{1}^{\mathsf {T}}x+b_{1}),\dots ,\cos(\omega _{f}^{\mathsf {T}}x+b_{f})]^{\mathsf {T}}}$ où les ${\displaystyle (b_{i})_{1\leq i\leq f}}$ sont tirés i.i.d. et uniformément sur ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

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