Dilemme du voyageur

Le scénario de jeu original a été formulé en 1994 par Kaushik Basu et se présente comme suit^[1],[2] :

"Une compagnie aérienne perd deux valises appartenant à deux voyageurs différents. Les deux valises se trouvent être identiques et contiennent des antiquités identiques. Un responsable de compagnie aérienne chargé de régler les réclamations des deux voyageurs explique que la compagnie aérienne est responsable d'un maximum de 100 USD par valise - il est incapable de connaître directement le prix des antiquités. "

"Pour déterminer une valeur estimée honnête des antiquités, le responsable sépare les deux voyageurs afin qu'ils ne puissent pas se concerter et leur demande d'écrire le montant de leur valeur entre pas moins de 2 $ et plus de 100 $. Il leur dit également que si les deux écrivent le même numéro, il traitera ce numéro comme la valeur réelle en dollars des deux valises et remboursera ce montant aux deux voyageurs. Toutefois, si l’un écrit moins que l’autre, ce dernier sera considéré comme la valeur réelle et les deux voyageurs recevront ce montant avec un bonus / malus : 2 $ supplémentaires seront versés au voyageur qui a écrit la valeur inférieure et une déduction de 2 $ seront prélevées sur la personne qui a consigné le montant le plus élevé. Le défi est le suivant : quelle stratégie les deux voyageurs devraient-ils suivre pour décider de la valeur à écrire ? "

Les deux joueurs tentent d'optimiser leurs gains, sans se soucier des gains de l'autre joueur.

On pourrait s'attendre à ce que le choix optimal du voyageur soit de 100 $; c'est-à-dire que le voyageur valorise les antiquités au prix maximum autorisé par le responsable de la compagnie. Remarquablement, et pour beaucoup, contre-intuitivement, la solution d’équilibre de Nash n’est en réalité que de 2 dollars; c'est-à-dire que le voyageur valorise les antiquités au prix minimum autorisé par le responsable de la compagnie aérienne.

Pour comprendre pourquoi 2 $ est l’ équilibre de Nash, considérons la preuve suivante:

1. Alice, ayant perdu ses antiquités, se voit demander leur valeur. La première pensée d'Alice est de citer 100 $, la valeur maximale autorisée.
2. Après réflexion, elle se rend compte que son compagnon de voyage, Bob, pourrait également citer 100 $. Alice se ravise et décide de proposer 99 dollars. Si Bob cite 100 dollars, il paiera 101 dollars.
3. Mais Bob, étant dans une position identique à Alice, pourrait aussi penser à citer 99 $. Alice se ravise et décide de proposer 98 dollars. Si Bob cite 99 dollars, il paiera 100 dollars. C'est plus que les 99 $ qu'Alice recevrait si elle et Bob citaient tous les deux 99 $.
4. Ce cycle de pensée se poursuit jusqu'à ce qu'Alice décide finalement de ne proposer que 2 $ - le prix minimum autorisé.

Une autre preuve va comme suit:

• Si Alice ne souhaite que maximiser ses profits, choisir 99 $ l'emporte sur 100 $. Si Bob choisit une valeur en dollars comprise entre 2 et 98, 99 $ et 100 $ donnent le même résultat. si Bob choisit 99 $ ou 100 $, choisir 99 $ rapportera un dollar supplémentaire à Alice.
• Un raisonnement similaire montre que choisir 98 $ est toujours préférable pour Alice que de choisir 99 $. Le seul cas où choisir 99 $ rapporterait plus que choisir 98 $ est le cas si Bob choisit 100 $ - mais si Bob cherche seulement à maximiser ses propres profits, il choisira toujours 99 $ au lieu de 100 $.
• Ce raisonnement peut être appliqué à toutes les options en dollars d’Alice jusqu’à ce qu’elle atteigne enfin 2 $, le prix le plus bas.