Jeu de marchandage de Nash

Les stratégies sont représentées dans le jeu à la demande de Nash par une paire (x, y). x et y sont sélectionnés dans l'intervalle [d, z], où d est le résultat du désaccord et z la quantité totale de biens. Si x + y est égal ou inférieur à z, le premier joueur reçoit x et le second y . Sinon, les deux reçoivent d ; souvent ${\displaystyle d=0}$ .

Il existe de nombreux équilibres de Nash dans le jeu de la demande de Nash. Tout x et y tels que x + y = z est un équilibre de Nash. Si l'un des joueurs augmente sa demande, les deux joueurs ne reçoivent rien. Si l'un ou l'autre réduit leur demande, ils recevront moins que s'ils avaient demandé x ou y . Il existe également un équilibre de Nash où les deux joueurs exigent le bien entier. Ici, les deux joueurs ne reçoivent rien, mais aucun des deux joueurs ne peut augmenter leur retour en modifiant unilatéralement leur stratégie.

Dans le jeu de négociation des offres alternées de Rubinstein^[4], joueurs agissent^[Quoi ?] à tour de rôle en proposant de partager un surplus. La répartition du surplus dans l’équilibre parfait du sous-jeu unique dépend de la force avec laquelle les joueurs préfèrent les gains actuels aux gains futurs. En particulier, prenons d le facteur d’escompte, qui correspond au taux auquel les joueurs actualisent leurs gains futurs. C'est-à-dire qu'après chaque étape, le surplus vaut d fois ce qu'il valait auparavant. Rubinstein a montré que si le surplus est normalisé à 1, le gain du joueur 1 à l'équilibre est de 1 / (1 + d), tandis que celui du joueur 2 est de d / (1 + d). Dans la limite où les joueurs deviennent parfaitement patients, la division de l'équilibre converge vers la solution de négociation de Nash.

Diverses solutions ont été proposées en fonction d’hypothèses légèrement différentes sur les propriétés recherchées pour le point d’accord final.

John Nash a proposé^[6] qu'une solution devrait satisfaire certains axiomes :

• invariant aux transformations affines ou Invariant aux représentations d'utilité équivalentes
• optimalité de Pareto ;
• indépendance des alternatives non pertinentes ;
• symétrie.

Nash a prouvé que les solutions satisfaisant ces axiomes sont exactement les points ${\displaystyle (x,y)}$ dans ${\displaystyle F}$ qui maximisent l'expression suivante:

${\displaystyle (u(x)-u(d))(v(y)-v(d))}$

où u et v sont les fonctions utilitaires du joueur 1 et du joueur 2, respectivement, et d est le résultat d'un désaccord. C'est-à-dire que les joueurs agissent comme s'ils cherchaient à maximiser ${\displaystyle (u(x)-u(d))(v(y)-v(d))}$, où ${\displaystyle u(d)}$ et ${\displaystyle v(d)}$, sont les utilitaires du statu quo (utilité obtenue si l’un décide de ne pas négocier avec l’autre joueur). Le produit des deux services en surplus est généralement appelé produit Nash . Intuitivement, la solution consiste à ce que chaque joueur obtienne son bénéfice du statu quo (c’est-à-dire un paiement non coopératif) en plus d’une part des avantages découlant de la coopération^[7]. ^:15–16

L’indépendance des alternatives non pertinentes peut être remplacée par un axiome de monotonicité des ressources . Ehud Kalai et Meir Smorodinsky en ont fait la démonstration^[8]. Cela conduit à la solution dite de négociation Kalai-Smorodinsky : c'est le point qui maintient les ratios de gains maximaux. En d’autres termes, si nous normalisons le point de désaccord à (0,0) et que le joueur 1 peut recevoir un maximum de ${\displaystyle g_{1}}$ avec l'aide du joueur 2 (et vice versa pour ${\displaystyle g_{2}}$ ), alors la solution de négociation Kalai – Smorodinsky donnerait le point ${\displaystyle \phi }$ sur la frontière de Pareto telle que ${\displaystyle \phi _{1}/\phi _{2}=g_{1}/g_{2}}$.

La solution de négociation égalitaire introduite par Ehud Kalai^[9] est une troisième solution qui supprime la condition d'invariance d'échelle tout en incluant à la fois l'axiome de l' indépendance des alternatives non pertinentes et l'axiome de la monotonie des ressources. C'est la solution qui tente d'accorder un gain égal aux deux parties. En d’autres termes, c’est le point qui maximise le gain minimum entre les joueurs. Kalai note que cette solution est étroitement liée aux idées égalitaires de John Rawls.

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