Dynamique des gaz raréfiés

La découverte des effets de la raréfaction a été faite par Martin Knudsen qui a montré les écarts avec la loi de Poiseuille pour la perméation de gaz à très faible pression dans un tube (1909)^[1]. Cette observation a été prolongée par Lambert Johannes Klinkenberg dans des expériences où l'écoulement n'est que partiellement raréfié (1941)^[2]. La notion de saut pariétal des diverses variables est introduite par James Clerk Maxwell dès 1879^[3].

L'équation de Boltzmann est connue depuis 1872^[4] et la méthode de Chapman-Enskog de résolution de cette équation pour les faibles nombres de Knudsen depuis 1916-1917. La résolution dans le cas général attend la mise au point en 1948 de la méthode de Monte Carlo par Herman Kahn et Ted Harris dans le cadre de la neutronique^[5] et son adaptation au problème des gaz en 1963 par Graeme Bird^[6],[7]. Mais cette méthode est coûteuse et la méthode de Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) a été introduite en 1954 par Prabhu Lal Bhatnagar, Eugene Gross et Max Krook^[8] - et simultanément par P. Welander^[9] - pour la simplifier notablement en remplaçant les interactions physiques par une simple loi linéaire de retour vers l'équilibre thermodynamique.

À l'inverse de la méthode BGK qui a conduit à de nombreux développements permettant une description plus physique^[10],[11], la méthode du « gaz poussiéreux » pour les milieux poreux dans laquelle on considère le solide comme un ensemble de particules de masse élevée (pour que leur mouvement soit négligeable) n'a pas eu beaucoup de succès^[12].

La dynamique des gaz raréfiés est une science « jeune » puisque le premier congrès consacré au sujet a eu lieu à Nice en 1958^[13]. Les travaux actuels concernent le développement de méthodes capables de traiter indifféremment un écoulement moléculaire ou continu, donc un écoulement mixte^[14]. Le cadre s'est élargi puisque les études méthodologiques, qui relèvent du domaine des mathématiques appliquées, sont souvent multidomaniales, l'équation de Boltzmann étant présente non seulement en mécanique des fluides mais aussi en neutronique, transfert radiatif, conduction thermique, dépôt de rayonnement ionisant...

Summarize Fact Check

La description du milieu utilise l'équation de Boltzmann décrivant l'évolution temporelle de la fonction de distribution dans l'espace des phases. Le second membre de l'équation est en général une forme quadratique de ces distributions.

Le passage au domaine continu se fait classiquement par la méthode de Chapman-Enskog utilisant un développement de la fonction de distribution au premier ordre. Le second ordre proposé par David S. Burnett est complexe et peu satisfaisant au plan théorique.

On peut également passer au continue en prenant les moments successifs de la fonction de distribution, le problème étant de « fermer » le système obtenu, incomplet. Les tentatives avec la méthode de Grad (choix a priori de la forme de la solution) ou celle de Levermore^[15] (contrainte sur l'entropie du sytème) n'ont pas eu de grands développement, faute d'un avantage notable des équations obtenues sur celles de Navier-Stokes.

La méthode de Monte Carlo est utilisée couramment pour résoudre le problème général (en fait cette méthode ignore l'équation de Boltzmann). Elle a divers inconvénients : son coût d'autant plus élevé que le nombre de Knudsen diminue, le bruit statistique résiduel de la solution.

La résolution proprement dite de l'équation de Boltzmann utilise une simplification du terme de collision qui remplace la forme quadratique par un simple opérateur linéaire de retour vers l'équilibre thermodynamique : c'est la méthode BGK. Elle a fait l'objet de nombreuses améliorations pour se rapprocher de la physique^[16].

Cette approximation a permis de développer la méthode de Boltzmann sur réseau utilisant un schéma numérique propagation-collision d'une distribution discrétisée, aujourd'hui très largement répandue. Les techniques actuellement développées tendent à les rendre capables de traiter indistinctement régions denses ou raréfiées^[14].

L'écoulement sur un objet dans la gamme de nombre de Knudsen ${\displaystyle \textstyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$ est tel que la région proche de la paroi (la couche de Knudsen) ne peut pas être décrite par les équations du continu pour lesquelles, de plus, on ne peut pas écrire de condition aux limites physiques. La description physique de ces conditions aux limites est en général très complexe et l'on se contente généralement d'une description phénoménologique utilisant des fonctions de distribution analytiques.

La région en cause est mince et peut donc être traitée comme une couche limite (la pression est conservée) en utilisant un système de coordonnées curvilignes liées à la paroi^[17]. Il en résulte des relations liant les quantités pariétales à celles en haut de la couche de Knudsen, appelées « conditions de saut » puisque ce sont elles qui serviront de condition aux limites pour le calcul dans l'ensemble du domaine : vitesse, saut de température translationnelle et éventuellement les sauts des autres modes d'énéergie.