Ensemble de Multibrot

Le cas de^[5]

${\displaystyle d=2\,}$

est l'ensemble de Mandelbrot classique depuis lequel le nom est dérivé.

Les ensembles pour les autres valeurs de d présentent aussi des images fractales ^[6] lorsqu'ils sont tracés sur le plan complexe.

Chaque exemple des différentes puissances d ci-dessous est tracé à la même échelle. Les valeurs de c appartenant à l'ensemble sont noires. Les valeurs de c dont les valeurs ne sont pas bornées après itérations n'appartiennent pas à l'ensemble et sont représentées en différentes couleurs pour montrer leurs contours. Les couleurs dépendent du nombre d'itérations nécessaires pour que la valeur dépasse la magnitude définie.

L'exemple d = 2 est l'ensemble de Mandelbrot original. Les exemples pour d > 2 sont souvent appelés ensembles de multibrot. Ces ensembles incluent l'origine et ont un périmètre fractal, avec (d − 1) axes de symétrie rationnel(s).

Lorsque d est négatif, l'ensemble encercle l'origine mais ne l'inclut pas. Il y a un comportement complexe entre l'ensemble et l'origine, une zone en forme d'étoile avec (1 − d) axes de symétrie rationnel(s). L'ensemble semble avoir un périmètre circulaire, mais cette illusion est créée par le rayon maximal autorisé par l'algorithme et n'est pas la vraie limite de l'ensemble, qui s'étend en réalité dans toutes les directions jusqu'à l'infini.

L'inclusion de puissances fractionnelles ne montre rien de particulier, si ce n'est l'apparition des axes de symétrie que l'on observe avec des puissances entières. La transition semble régulière, le nouvel axe "apparait" sans causer d'irrégularités par rapport aux formes précédemment obtenues.

Toutes les images ci-dessus sont tracées avec l'algorithme d'Évasion du Temps qui identifie des points hors de l'ensemble de manière simple. On peut révéler beaucoup plus de détails fractals en traçant l'exposant de Liapounov^[7] comme le montre l'exemple ci-dessous.

L'exposant de Liapounov est le taux de croissance de l'erreur d'une séquence donnée. On calcule d'abord la séquence d'itération avec N itérations, puis on calcule l'exposant avec

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{N}}\ln |\mathbf {z} |}$

et si l'exposant est négatif, la séquence est stable. Les pixels blancs sur l'image sont les paramètres c pour lesquels l'exposant est positif, c'est-à-dire instable.

Les couleurs montrent la période des cycles auxquels les orbites sont attirées. Tous les points bleu foncé (extérieur) sont attirés par un point fixe et tous les points au milieu, en bleu plus clair, sont attirés par un cycle à deux périodes, et ainsi de suite.

ALGORITHME D'ÉVASION DU TEMPS
=====================
Pour chaque pixel sur l'écran, faire :
{
  x = x0 = x coordonnée du pixel
  y = y0 = y coordonnée du pixel

  itération = 0
  max_itération = 1000

  while ( x*x + y*y <= (2*2) AND itération < max_itération )
  {
    /* INSÉRER LE(S) CODE(S) POUR Z^d DEPUIS LE CODE CI-DESSOUS */

    itération = itération + 1
  }

  if ( itération == max_itération )
  then
    colour = noir
  else
    colour = itération

  plot(x0,y0,couleur)
}

La valeur complexe z a les coordonnées (x, y) sur le plan complexe et est élevée à des puissances différents dans la boucle d'itération par les codes montrés ci-dessus. Les puissances non présentes dans ce code sont obtenues en concaténant des codes montrés.

d=x^2+y^2
if d=0 then ESCAPE
x = x/d + a
y= -y/d + b 

xtmp=x^2-y^2 + a
y=2*x*y + b
x=xtmp 

xtmp=x^3-3*x*y^2 + a
y=3*x^2*y-y^3 + b
x=xtmp 

xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4 + a
y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5 + b
x=xtmp

xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x)) + a
y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x)) + b
x=xtmp

^[8]

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