Système de fonctions itérées

Un SFI est une famille S de N fonctions contractantes ${\displaystyle T_{i}:M\to M}$ dans un espace métrique complet M^[3],[4].

On définit à partir des T_i une nouvelle fonction ${\displaystyle T:{\mathcal {H}}(M)\rightarrow {\mathcal {H}}(M)}$, elle aussi contractante sur ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(M),h)}$, l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff ${\displaystyle h}$, par l'expression ${\displaystyle T(A)=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(A)}$, appelée opérateur de Hutchinson de S^[2].

L'espace métrique ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(M),h)}$ est complet^[5]. Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un point fixe de ${\displaystyle T}$, c'est-à-dire une partie compacte de M fixe par T. On l'appelle attracteur du SFI et on le note |S|.

Remarques :

• En pratique, pour construire l'attracteur, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite (K, T(K), T(T(K)), ...), autrement dit l'orbite de K^[6]. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers |S|. C'est de là que vient le terme d'itéré^[7].
• Les fractales les plus connues (Ensemble de Cantor, Triangle de Sierpiński, Flocon de Koch) sont obtenues à partir de systèmes de fonctions affines^[8],[9],[7].
• On appelle flammes fractales des fractales obtenues à l'aide de systèmes de fonctions non affines^[10].

Considérons les deux homothéties définies sur ${\displaystyle {\mathbb {R}}}$ par ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {x}{3}},f_{2}(x)={\frac {x+2}{3}}}$. Les deux ont pour rapport ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$. La première a pour centre ${\displaystyle 0}$ et la deuxième ${\displaystyle 1}$. ${\displaystyle {\mathbb {K}}_{3}}$, l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors ${\displaystyle {\mathbb {K}}_{3}=f_{1}({\mathbb {K}}_{3})\cup f_{2}({\mathbb {K}}_{3})}$. La famille de contractions est ici ${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}}$ et ${\displaystyle {\mathbb {K}}_{3}}$ en est l'attracteur^[11],[12].

En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(ℝⁿ) des compacts non vides de ℝⁿ, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, F est lui-même un espace compact non vide de ℝⁿ, c'est-à-dire un fermé borné.

${\displaystyle F}$ est une fractale autosimilaire. En effet, à partir de la définition de ${\displaystyle T}$, l'égalité T(F) = F se réécrit ${\displaystyle F=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(F)}$. Cette égalité traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski^[13]...) : l'attracteur s'obtient comme réunion de copies de lui-même, contractées et translatées, expliquant son autosimilarité. Dans le cadre des SFI, on peut exploiter ce résultat, notamment pour calculer les dimensions de Hausdorff des attracteurs. Cette relation est introduite par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980^[2].

Soit ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=|\{f_{1},f_{2}\}|}$ un attracteur, où les ${\displaystyle f_{i}}$ sont injectives, et ${\displaystyle K}$ un compact.

(i) On suppose que ${\displaystyle f_{1}(K)\cup f_{2}(K)\subset K{\text{ et }}f_{1}(K)\cap f_{2}(K)=\varnothing }$ . Alors ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est totalement discontinu.

(ii) On suppose que ${\displaystyle f_{1}(K)\cup f_{2}(K)\subset K{\text{ et }}f_{1}(K)\cap f_{2}(K)\neq \varnothing }$. Alors ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est connexe^[6].

Par exemple, l'ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu.

De la construction du SFI à l'aide de fonctions affines, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application T_i est contractante de rapport k_i, et que T_i(|S|) est disjoint de T_j(|S|), pour tous i, j ≤ N distincts, alors la dimension de S est le réel d vérifiant :${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}^{d}=1.}$

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant^[14] :

Théorème — Soit (Y,d) un espace métrique. Soit X un compact non vide de Y. Soit H(X) l'ensemble des compacts non vides de X. Soit f : X → Y continue et telle que X soit contenue dans f(X). Alors

1. pour tout compact non vide B de X, f ^–1(B) est un compact non vide de X et l'on peut donc définir une application W : H(X) → H(X) par W(B) = f ^–1(B)
2. W possède un point fixe A donné par

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow +\infty }W^{n}(X)=\lim _{n\rightarrow +\infty }\underbrace {W\circ W\circ ...\circ W} _{n}(X).}$

On a aussi ${\displaystyle A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f^{-n}(X).}$

Exemples

• Le cas f(z) = z² fournit le disque unité.

• Le cas f(z) = z² – 1 fournit l'ensemble de Julia associé, noté^[16] J_–1. On peut prendre pour X le carré de centre 0 et de côté 4.

• On a^[14], de façon générale, ${\displaystyle A=\left\{x\in X\mid \forall n=0,1,2...f^{n}(x)\in X\right\}}$. Autrement dit, A est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de X, où l'on appelle^[6] orbite d'un point ${\displaystyle x\in X}$ la suite (x, f(x), f²(x), ...).

• L'ensemble de Cantor

• Le tapis de Sierpiński, défini par 8 similitudes de rapports 1/3.
• La fougère de Barnsley, construite à partir de quatre contractions affines (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration).
• La courbe de Takagi, attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2^[17].
• La courbe de Koch et la courbe de Cesaro.
• L'escalier du diable^[18]
• La courbe de Hilbert^[19].
• La courbe de Lévy
• La courbe du dragon
• L'éponge de Menger
• Un arbre fractal^[20]