Enveloppe convexe

On supposera être dans un contexte où la notion de sous-ensemble convexe a un sens (par exemple en géométrie affine sur les réels), et l'on notera ${\displaystyle E}$ le cadre géométrique où l'on se place.

Cette définition a un sens, puisqu'il existe au moins une partie convexe de ${\displaystyle E}$ qui contient ${\displaystyle A}$, à savoir ${\displaystyle E}$ lui-même.

De cette définition et du fait qu'une intersection quelconque d'ensembles convexes est un ensemble convexe, on déduit la caractérisation suivante de l'enveloppe convexe.

Développé de façon plus détaillée, ce résultat caractérise l'enveloppe convexe ${\displaystyle \mathrm {Conv} (A)}$ comme l'unique sous-ensemble de ${\displaystyle E}$ qui vérifie les trois conditions suivantes :

• ${\displaystyle \mathrm {Conv} (A)}$ est convexe ;
• ${\displaystyle A}$ est inclus dans ${\displaystyle \mathrm {Conv} (A)}$ ;
• si ${\displaystyle C}$ est un sous-ensemble convexe de ${\displaystyle E}$ contenant ${\displaystyle A}$, alors ${\displaystyle \mathrm {Conv} (A)}$ est inclus dans ${\displaystyle C}$.

Par exemple, ${\displaystyle \mathrm {Conv} (\varnothing )=\varnothing }$.

Dans la suite de cette section, on supposera que ${\displaystyle E}$ est un espace affine réel. On peut alors énoncer^[1] :

Autrement dit : les éléments de l'enveloppe convexe de ${\displaystyle A}$ sont exactement les points x de ${\displaystyle E}$ qu'on peut écrire sous la forme :

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}a_{i}}$, expression dans laquelle p est un entier, les a_i sont dans ${\displaystyle A}$, les coefficients λ_i sont réels positifs et de somme ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}=1.}$

L'énoncé qui précède peut être amélioré en dimension finie, comme remarqué par Constantin Carathéodory en 1907. Si l'on note ${\displaystyle n}$ la dimension de ${\displaystyle E}$, le théorème affirme qu'on peut utiliser des barycentres de ${\displaystyle p}$ points en se bornant au cas ${\displaystyle p=n+1}$ pour reconstituer toute l'enveloppe convexe. Ainsi dans un plan, étant donné ${\displaystyle A}$, on construit mentalement son enveloppe convexe en noircissant par la pensée tous les triangles à sommets dans ${\displaystyle A}$ ; en dimension 3 on utiliserait des tétraèdres, et ainsi de suite.

Le théorème s'énonce précisément ainsi :

Une fois cet énoncé connu, il est facile d'en déduire un corollaire important :

(Alors que par exemple dans l'espace de Hilbert ℓ², de base hilbertienne (δ_n)_n∈ℕ, la suite (δ_n/n)_n∈ℕ et sa limite 0 forment un compact, dont l'enveloppe convexe n'est même pas fermée^[2].)