Excursion brownienne

Une représentation d'une excursion brownienne ${\displaystyle W}$ en termes d'un mouvement brownien W (due à Paul Lévy et notée par Kiyoshi Itō et Henry P. McKean, Jr^[2]) se donne en termes de la dernière fois ${\displaystyle \tau _{-}}$ que W atteint zéro, avant le temps 1 et la première fois ${\displaystyle \tau _{+}}$ que le mouvement brownien ${\displaystyle W}$ atteint zéro, après le temps 1:

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Si ${\displaystyle \tau _{m}}$ est le temps auquel un pont brownien ${\displaystyle W_{0}}$ atteint son minimum sur [0, 1], Vervaat (1979) montre que

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$