Exposant d'un groupe

Soit G un groupe, d'élément neutre noté e. On appelle exposant^[1],[2]de G le plus petit entier strictement positif n, s'il existe, tel que

${\displaystyle \forall g\in G,\qquad g^{n}=e}$.

S'il n'en existe pas, on dit que G est d'exposant infini^[1].

Cette définition équivaut à : l'exposant de G est le plus petit commun multiple des ordres^[3] des éléments du groupe si tous ces ordres sont finis et admettent un majorant commun, et l'infini sinon.

Une condition nécessaire (mais pas suffisante, cf. infra) pour que l'exposant d'un groupe soit fini est donc que ce groupe soit de torsion.

Remarque

Soit toujours G un groupe, d'élément neutre noté e. Les entiers relatifs n tels que xⁿ = e pour tout élément x de G forment un sous-groupe de (Z, +), qui, comme tout sous-groupe de (Z, +), admet un unique générateur naturel (éventuellement nul). Si ce générateur est non nul, il est égal à l'exposant de G tel que défini ci-dessus. Si le générateur est nul, l'exposant de G tel que défini ci-dessus est égal à l'infini. Certains auteurs^[4] définissent l'exposant de G comme le générateur naturel en question. Cette définition ne diffère de la précédente que dans le cas où l'exposant au premier sens est infini ; dans ce cas, l'exposant au second sens est nul. Avec la seconde définition, la caractéristique d'un corps est l'exposant de son groupe additif.

• L'exposant du groupe quotient ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ou du p-groupe de Prüfer ${\displaystyle \mathbf {C} _{p^{\infty }}}$ est l'infini.
• L'exposant du groupe alterné A₃ est 3.