P-groupe

• Tout sous-groupe et quotient d'un p-groupe est un p-groupe.

En effet, un élément d'un sous-groupe H d'un groupe G a le même ordre dans G et dans H, et l'ordre de l'image d'un élément x d'ordre fini par un homomorphisme (ici le morphisme canonique d'un groupe sur un quotient de ce groupe) divise l'ordre de x.

• Si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.

Soient x un élément de G, q l'ordre de sa classe dans G/H, et r l'ordre de l'élément x^q (qui appartient à H), alors qr est une puissance de p et x^qr = 1.

• Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.

Soit G un groupe fini, d'ordre n. Supposons tout d'abord que n est une puissance de p. Par application du théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément de G divise l'ordre n de G et est donc une puissance de p, si bien que G est un p-groupe. Réciproquement, supposons que l'ordre de tout élément de G est une puissance de p et prouvons que l'ordre n de G est une puissance de p. Pour tout diviseur premier q de n, d'après le théorème de Cauchy, G admet un élément d'ordre q, si bien que q est une puissance de p donc q = p. Ainsi, le seul éventuel diviseur premier de n est p, donc n est une puissance de p.

• Dans un p-groupe G, si l'indice d'un sous-groupe H est fini alors cet indice est une puissance de p.

Si H est d'indice fini alors son cœur H_G (c.-à-d. l'intersection de ses conjugués) aussi, donc G/H_G est un p-groupe fini. Son ordre [G:H_G] est alors une puissance de p, si bien que [G:H] (qui le divise) aussi.

• Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial.

Soit G un p-groupe fini non trivial. Son ordre est donc une puissance non nulle de p. L'étude de l'action par conjugaison de G sur lui-même fournit l'équation aux classes. Elle permet d'exprimer le cardinal du centre Z(G) sous la forme :

${\displaystyle Card(Z(G))=Card(G)-\sum _{i}{\frac {Card(G)}{Card(Z_{i})}},}$

où les Z_i sont des sous-groupes de G distincts de G, donc la somme indexée par i est une somme de puissances non nulles de p. Il en résulte que le cardinal de Z(G) est divisible par p et ne peut donc être égal à 1, ce qui achève la démonstration.

• Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.

Tout groupe nilpotent est résoluble, il suffit donc de montrer que G est nilpotent. Démontrons-le par récurrence sur n, l'ordre de G étant supposé égal à pⁿ.
Si n est égal à zéro, le groupe est trivial donc nilpotent.
Soit n > 0 et supposons la propriété vraie pour toute puissance inférieure ou égale à n - 1. Soit Z le centre du groupe, il est normal et non trivial, donc G/Z est un p-groupe d'ordre une puissance de p inférieure ou égale à n - 1 et est nilpotent. Le fait que G/Z soit nilpotent montre que G l'est.

• Soit G un p-groupe fini d'ordre pⁿ. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre p^r.
  Puisque G est résoluble, chaque quotient d'une suite de Jordan-Hölder de G a pour ordre un nombre premier. Cet ordre, divisant celui de G, doit être égal à p. L'énoncé en résulte clairement. (On peut même prouver^[3] que le nombre des sous-groupes d'ordre p^r de G est congru à 1 modulo p.)