Filtrage adapté

Un filtre linéaire ${\displaystyle h}$ est appliqué à un jeu de données ${\displaystyle x}$ via le produit de convolution $${\displaystyle y(n)=(h*x)(n)=\sum _{k}h^{*}(n-k)x(k)}$$Supposons que les données peuvent être modélisées comme la somme d'un signal connu ${\displaystyle s}$ et d'un bruit gaussien ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle x=s+n}$). On peut décomposer ${\displaystyle y=h*x=h*s+h*n=y_{s}+y_{n}}$ et définir un rapport signal sur bruit ${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{\mathbb {E} (|y_{n}|^{2})}}}$ (où ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est l'espérance).

On considère que le bruit gaussien est défini par une densité spectrale de bruit ${\displaystyle S_{n}(\omega )}$ dans le domaine fréquentiel, donnant via le théorème de Wiener-Khintchine $${\displaystyle \mathbb {E} (|n|^{2})={\frac {1}{2\pi }}\int S_{n}(\omega )d\omega }$$d'où le dénominateur$${\displaystyle \mathbb {E} (|y_{n}|^{2})={\frac {1}{2\pi }}\int |H(\omega )|^{2}S_{n}(\omega )d\omega }$$De plus, on a $${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{s}|^{2}&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int H(\omega )S(\omega )d\omega \right|^{2}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int H(\omega ){\sqrt {S_{n}(\omega )}}{\frac {S(\omega )}{\sqrt {S_{n}(\omega )}}}\right|^{2}\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int |H(\omega )|^{2}S_{n}(\omega )d\omega \int {\frac {|S(\omega )|^{2}}{S_{n}(\omega )}}d\omega \end{aligned}}}$$(en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz ; ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle S}$ représentent les transformées de Fourier de ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle s}$ respectivement). En substituant ces deux résultats dans la formule du SNR, les facteurs s'annulent et on obtient $${\displaystyle \mathrm {SNR} \leq \int {\frac {|X(\omega )|^{2}}{S_{n}(\omega )}}d\omega }$$Cette borne supérieure est atteinte dans le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, soit lorsque $${\displaystyle {\begin{aligned}H(\omega ){\sqrt {S_{n}(\omega )}}&=c{\frac {S^{*}(\omega )}{\sqrt {S_{n}(\omega )}}}\\H(\omega )&=c{\frac {S^{*}(\omega )}{S_{n}(\omega )}}\end{aligned}}}$$où ${\displaystyle c}$ est une constante de proportionnalité ; le filtre permettant d'obtenir un rapport signal sur bruit optimal est donc proportionnel à la conjuguée du signal non bruité (divisée par la densité spectrale de bruit). C'est ce filtre qu'on appelle filtre adapté^[4].

Le radar représente une des applications idéales du filtrage adapté, puisqu'il repose précisément sur la détection d'un signal émis connu après qu'il a été réfléchi sur un objet. Lorsque l'objet détecté est en mouvement, l'effet Doppler modifie la fréquence du signal réfléchi ; il est possible d'utiliser plusieurs filtres adaptés correspondant à différents décalages en fréquences pour déterminer lequel correspond le mieux au signal reçu, permettant ainsi de déterminer la vitesse de l'objet.

Un signal numérique est typiquement constitué de pulsations, qui représentent les données en langage binaire (0 ou 1).

Ce signal est transmis via un canal (par exemple des ondes radios) qui vont naturellement introduire un bruit aléatoire.

Afin de récupérer le message original, on peut appliquer la technique du filtrage adapté, en filtrant le signal reçu par la fonction porte (qui correspond aux pulsations envoyées). On obtient alors une nouvelle série temporelle.

Les pics de cette série temporelle correspondent aux instants où la fonction porte correspond le mieux aux données, c'est-à-dire lors d'une pulsation. Pour retrouver le message initial, on peut appliquer un seuil et échantillonner le signal.

Une grande partie de l'astronomie gravitationnelle actuelle repose sur le filtrage adapté. En particulier, la détection de coalescences de binaires compactes (fusion de binaires de trous noirs/étoiles à neutrons) repose principalement sur cette méthode^[3],[5], qui a par exemple permis la première détection directe^[6]. Les filtres utilisés correspondent à des formes d'ondes simulées, qui sont déclinées sur un large espace de paramètres en faisant varier les masses et les spins des objets ; le filtrage est donc réalisé avec un grand nombre de filtres (typiquement plusieurs centaines de milliers)^[5].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Matched filter » (voir la liste des auteurs).

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