Fonction de Mertens

Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs –1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas de x tel que |M(x)| > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x.

Andrew Odlyzko et Herman te Riele ont montré en 1985 que cette conjecture était fausse^[1]. Leur preuve ne produisait pas un contre-exemple explicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grand^[2] que 10¹⁶ et plus petit^[3] qu'exp(1,59.10⁴⁰).

Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement : pour tout ε >0, M(x) = O(x^{1⁄₂ + ε}), où O désigne la notation de Landau. Puisque les pics de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de x, ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.

En utilisant le produit eulérien, on trouve que

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}}$

où ζ est la fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette série de Dirichlet avec la formule de Perron, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\mathrm {d} s{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}=M(x)}$

où C est une courbe fermée encerclant toutes les racines de ζ.

Inversement, on a la transformée de Mellin

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}~\mathrm {d} x}$

qui reste valable pour Re(s) > 1.

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient, une inégalité :

${\displaystyle \oint _{C}\mathrm {d} sF(s)e^{st}\sim M(e^{t}).}$