Fonction loggamma
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En analyse, la fonction loggamma est une fonction réelle, définie comme le logarithme naturel de la fonction Gamma pour tout réel strictement positif.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Définitions
La fonction loggamma est définie sur la demi-droite réelle positive par
En utilisant l'identité de Schlömlich, on a également :
![{\displaystyle \forall x>0,\ln \circ \,\Gamma (x)=-\gamma x-\ln x+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[{\frac {x}{k}}-\ln \left(1+{\frac {x}{k}}\right)\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189ff9639716ea01b5bfdef7e9105be70ad431e1)
où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.
Elle est donc la solution de l'équation fonctionnelle :
Une notation utilisée dans la littérature est .
Équivalent asymptotique de la fonction de Binet
De la formule asymptotique de Stirling appliquée à la fonction Gamma, on tire :
avec μ la fonction de Binet vérifiant On peut exprimer l'équivalent sous forme de reste intégral.
Ce reste intégral peut s'exprimer par deux formules, dite première formule de Binet[1],[2] :
et deuxième formule de Binet[1],[2]:
Il existe également plusieurs représentations en série de la fonction de Binet, comme celui montré par Gudermann[3]:
![{\displaystyle \mu (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left[\left(x+k+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+k}}\right)-1\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd67ab1353974220feea46ab78fa4ae9dc25f89)
ou plus classiquement[4]:
Propriétés
La fonction log-gamma est convexe.
Valeurs spéciales
On a, pour tout entier strictement positif n :
![{\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )\left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \pi +\ln[(n-2)!!]-{\frac {n-1}{2}}\ln 2.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a51371ca5459b3424f03fd8350e3e877637271)
Développement en série
![{\displaystyle \forall x\in ]-1;1],\ (\ln \circ \,\Gamma )(x+1)=-\gamma x+\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\zeta (n)x^{n}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed0e2f8f09f15425508cf5b6b18d914162004fd)
Dérivées
La dérivée de la fonction log-gamma est la fonction digamma[7]:
Intégrales
Raabe a démontré l'égalité[8],[9] :
dont on déduit :
Elle peut se déduire de la formule de Lerch sur la dérivée de la fonction zêta de Hurwitz[7]:
La fonction loggamma admet comme représentations intégrales :
- (formule de Malmsten)
- (formule de Féaux)
![{\displaystyle \forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\zeta (x,t)\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (1-x)}{(2\pi )^{2-x}}}\zeta (2-x)\left[\pi \sin \left({\frac {\pi x}{2}}\right)+2\cos \left({\frac {\pi x}{2}}\right)\left(\ln(2\pi )+\gamma -{\frac {\zeta '(2-x)}{\zeta (2-x)}}\right)\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a909c84caa7c1c061c1fb508109adfb4de851a7)
![{\displaystyle I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1+0-t)\mathrm {d} t\ \Longrightarrow \ 2I=\int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}\ln \Gamma (1-t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}\ln \left[\Gamma (t)\Gamma (1-t)\right]\mathrm {d} t}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7c661c389251e350ff4fbda923418cf6766ecb)
![{\displaystyle 2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \sin(t)\mathrm {d} t.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a98f197ffac7b89b5f35d1bcf3ab028dcc155d)
![{\displaystyle 2I=\int _{0}^{1}\ln \left[{\frac {\pi }{\sin(\pi t)}}\right]\mathrm {d} t=\ln \pi +{\frac {1}{\pi }}\times \pi \ln 2.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741112cd6b6dbe1f45b7dff216ed31a2c5bc9b29)
![{\displaystyle \forall x\in ]0;1[,\ \ln(\sin(\pi x))=-\ln 2-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\cos(2n\pi x)}{n}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a60aac2cb3da133bdfa0dcf6ef6bb1ba1eec1f)
Utilisation
Du fait de la croissance surexponentielle de la fonction gamma, la fonction loggamma peut être utilisée pour le calcul de la fonction gamma pour de grandes valeurs.
