Fonction singulière

En mathématiques, une fonction ${\displaystyle f}$ à valeur réelle sur l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ est dite singulière si elle possède les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle f}$ est continue sur ${\displaystyle [a,b]}$^[1].
• ${\textstyle f}$ est dérivable presque partout, de dérivée nulle.
• ${\textstyle f}$ n'est pas constante sur ${\displaystyle [a,b]}$.

Un exemple de fonction singulière est l'escalier de Cantor, aussi appelé escalier du diable (terme utilisé pour désigner plus généralement n'importe quelle fonction singulière).

Si ${\displaystyle f}$ est prolongée par ${\displaystyle 0}$ sur l'intervalle ${\displaystyle ]-\infty ,a]}$ et par ${\displaystyle 1}$ sur l'intervalle ${\displaystyle [b,+\infty [}$, alors la fonction peut être interprétée comme une fonction de répartition d'une variable aléatoire qui n'est ni discrète (puisque la probabilité est nulle pour chaque point) ni absolument continue (puisque ${\displaystyle f'}$, qui est nulle partout où elle existe, ne peut pas être une densité de probabilité).