Formalisme de Keldysh

Quatre types de fonctions de Green hors équilibre sont introduites (pour des fermions):

${\displaystyle G^{++}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle T\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

${\displaystyle G^{-+}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle \psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle =G^{>}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{+-}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=i\langle \psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})\rangle =G^{<}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{--}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle {\tilde {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

(où ${\displaystyle \psi ,\psi ^{\dagger }}$ sont des opérateurs de création et d'annihilation, ${\displaystyle T}$ désigne le produit chronologique et ${\displaystyle {\tilde {T}}}$ désigne le produit antichronologique), au lieu d'une seule fonction de Green dans la théorie d'équilibre. Ces quatre fonctions de Green forment une matrice^[3] ${\displaystyle {\hat {G}}}$, qui remplace la fonction de Green scalaire dans les lignes des diagrammes de Feynman. Les observables physiques^[3] comme la densité de particules ${\displaystyle \rho (x,t)}$ ou le courant ${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)}$ s'expriment à l'aide de la fonction ${\displaystyle G^{<}}$:

${\displaystyle \rho (x,t)=\lim _{x'\to x \atop t'\to t}-iG^{<}(x,t;x',t')}$

${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)=-{\frac {\hbar }{2m}}\lim _{x'\to x \atop t'\to t}\left[\nabla _{x'}G^{<}(x,t;x',t')-\nabla _{x}G^{<}(x,t;x',t')\right]}$

Les termes d'interaction (sommets des diagrammes de Feynman) acquièrent aussi une structure matricielle^[8]. En particulier, un terme d'énergie potentielle est représenté par une matrice 2×2 diagonale avec +1 sur la première ligne et -1 sur la deuxième ligne multipliant le potentiel.

Les fonctions de Green hors équilibre peuvent être obtenues en considérant un contour^[3] ${\displaystyle C=C_{+}\cup C_{-}}$partant de ${\displaystyle -\infty }$ jusqu'à un temps ${\displaystyle T>\max(t_{1},t_{2})}$ puis retournant en ${\displaystyle -\infty }$ et en définissant un produit chronologique ${\displaystyle T_{C}}$ sur ce contour tel que la partie de ${\displaystyle C_{+}=]-\infty +i0_{+},T]}$ se situe avant la partie ${\displaystyle C_{-}=]T,-\infty +i0_{-}]}$. Lorsque ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{+}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ est le produit chronologique, ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{-}}$

${\displaystyle T_{C}}$devient le produit antichronologique. C'est pourquoi on rencontre parfois l'expression^[9] closed-time path formalism (formalisme du contour temporel fermé) utilisée comme synonyme du formalisme de Keldysh.

Les fonctions de Green ${\displaystyle G^{\pm \pm }}$étant linéairement dépendantes ${\displaystyle G^{++}+G^{--}=G^{+-}+G^{-+}}$et il est possible au moyen d'une rotation^[3] de se ramener à la forme:

${\displaystyle {\hat {G}}=\left({\begin{array}{cc}G^{R}&G^{K}\\0&G^{A}\end{array}}\right)}$

où

${\displaystyle G^{R}=G^{++}-G^{+-}=-i\Theta (t_{1}-t_{2})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green retardée, ${\displaystyle \Theta (t)}$ est la fonction de Heaviside,

${\displaystyle G^{A}=G^{++}-G^{-+}=i\Theta (t_{2}-t_{1})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green avancée,

${\displaystyle G^{K}=G^{+-}+G^{-+}=-i\langle [\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})]\rangle }$ est la fonction de Green de Keldysh qui sert maintenant à exprimer les valeurs moyennes des observables physiques. Dans ces formules le symbole ${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA}$ désigne l'anti-commutateur, et ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ le commutateur. Dans cette représentation, les termes d'énergie potentielle sont représentés par une matrice identité multipliant le potentiel.