Forme différentielle fermée

En dimension n, une 1-forme

${\displaystyle \omega (u)=a_{1}(u)\mathrm {d} x_{1}+...+a_{n}(u)\mathrm {d} x_{n}}$

est fermée si

${\displaystyle \forall i<j\leq n\quad {\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0.}$

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

• En dimension 1, une 1-forme dérivable${\displaystyle \omega =A(x)\mathrm {d} x}$est toujours fermée.
• En dimension 2, une 1-forme${\displaystyle \omega =A(x,y)\mathrm {d} x+B(x,y)\mathrm {d} y}$est fermée si${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}.}$
• En dimension 3, une 1-forme${\displaystyle \omega =A(x,y,z)\mathrm {d} x+B(x,y,z)\mathrm {d} y+C(x,y,z)\mathrm {d} z}$est fermée si${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$   ;   ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$   ;   ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z},}$ce qui correspond à${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,\Omega =\mathbf {0} }$avec${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}}.}$

• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
• Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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