Théorème de Schwarz

Exactitude d'une forme différentielle

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où ${\displaystyle f}$ est de classe C² :

${\displaystyle \mathrm {d} f=a\!\left(x,y\right)\,\mathrm {d} x+b\!\left(x,y\right)\,\mathrm {d} y}$

Alors :

${\displaystyle a\!\left(x,y\right)={\partial f \over \partial x}\!\left(x,y\right)}$ et ${\displaystyle b\!\left(x,y\right)={\partial f \over \partial y}\!\left(x,y\right)}$

En appliquant le théorème de Schwarz, on déduit :

${\displaystyle {\partial b \over \partial x}\!\left(x,y\right)={\partial a \over \partial y}\!\left(x,y\right)}$

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension ${\displaystyle n}$ :

toute forme exacte de classe C¹ est fermée,

ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ${\displaystyle \omega }$, s'écrit :

si ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} f}$ alors ${\displaystyle \mathrm {d} \omega$ :=\sum _{i<j}\left({\partial \omega _{j} \over \partial x_{i}}-{\partial \omega _{i} \over \partial x_{j}}\right)\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=0}

Démonstration pour une 1-forme

Considérons une 1-forme exacte :

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} f=\omega _{1}\,\mathrm {d} x_{1}+\omega _{2}\,\mathrm {d} x_{2}+\ldots +\omega _{n}\,\mathrm {d} x_{n}}$

où la fonction ${\displaystyle f}$ est de classe C². Nous savons par ailleurs que :

${\displaystyle \mathrm {d} f={\partial f \over \partial x_{1}}\,\mathrm {d} x_{1}+{\partial f \over \partial x_{2}}\,\mathrm {d} x_{2}+\ldots +{\partial f \over \partial x_{n}}\,\mathrm {d} x_{n}}$

Ainsi pour tout ${\displaystyle i,j<n}$ :

${\displaystyle \omega _{i}={\partial f \over \partial x_{i}}}$ et ${\displaystyle \omega _{j}={\partial f \over \partial x_{j}}}$

En dérivant ${\displaystyle \omega _{i}}$ et ${\displaystyle \omega _{j}}$ respectivement selon ${\displaystyle x_{j}}$ et ${\displaystyle x_{i}}$ :

${\displaystyle {\partial \omega _{i} \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}}$ et ${\displaystyle {\partial \omega _{j} \over \partial x_{i}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}$

En vertu du théorème de Schwarz — qui s'applique ici car les ${\displaystyle \omega _{i}}$ sont supposés de classe C¹ — ces deux dérivées partielles sont égales, d'où :

${\displaystyle \forall i,j<n,\quad {\partial \omega _{i} \over \partial x_{j}}={\partial \omega _{j} \over \partial x_{i}}}$

ce qui achève la démonstration.

En thermodynamique

En thermodynamique, le théorème de Schwarz permet notamment d'établir les relations de Maxwell^[10]. Par exemple, en considérant l'énergie interne ${\displaystyle U}$, dont la différentielle vaut :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S}$

avec ${\displaystyle P}$ la pression, ${\displaystyle S}$ l'entropie, ${\displaystyle T}$ la température et ${\displaystyle V}$ le volume, on a les dérivées partielles^[10] :

${\displaystyle -P=\left({\partial U \over \partial V}\right)_{S}}$

${\displaystyle T=\left({\partial U \over \partial S}\right)_{V}}$

Le théorème de Schwarz donne :

${\displaystyle \left({\partial \over \partial S}\left({\partial U \over \partial V}\right)_{S}\right)_{V}=\left({\partial \over \partial V}\left({\partial U \over \partial S}\right)_{V}\right)_{S}}$

d'où l'une des quatre relations de Maxwell^[10] :

${\displaystyle -\left({\partial P \over \partial S}\right)_{V}=\left({\partial T \over \partial V}\right)_{S}}$