Formule de Mollweide

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En géométrie du triangle, les formules de Mollweide, portant le nom du mathématicien et astronome prussien Carl Brandan Mollweide (de) (1774-1825), sont les identités trigonométriques suivantes ^[1]^,^[2] :

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},

Notations usuelles pour un triangle.

où (cf. figure ci-contre) $a$ , $b$ et $c$ désignent les longueurs des côtés d'un triangle ABC et $α$ , $β$ et $γ$ les mesures des angles opposés.

La loi des tangentes en est un corollaire immédiat, compte tenu du fait que $γ / 2$ est complémentaire de $α + β / 2$ (donc le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre).

Démonstrations

On utilise la loi des sinus, puis une formule de Simpson au numérateur et une formule de l'angle double au dénominateur :

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{2\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},

ce qui prouve la première formule. La seconde se démontre de même.

Preuve sans mots de la formule de Mollweide

On peut également établir la formule géométriquement. Pour cela, on suppose, sans perte de généralité, que $a>b$ . On construit D sur BC tel que BC = AC, et on place E sur la droite (AD) tel que BD = BE. On trace enfin F et G, les projetés orthogonaux de C et B respectivement sur (AD). On a alors :

\cos {\frac {\gamma }{2}}={\frac {CF}{CD}}

\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}={\frac {BG}{AB}}={\frac {BG}{c}}

Or, par le théorème de Thalès, on a :

{\frac {CF}{CD}}={\frac {BG}{BD}}\Longleftrightarrow \cos {\frac {\gamma }{2}}={\frac {c\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{b-a}}

Ce qui permet d'établir la formule.

Références

Voir aussi

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