Formule de Mollweide

On utilise la loi des sinus, puis une formule de Simpson au numérateur et une formule de l'angle double au dénominateur :

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{2\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},}$

ce qui prouve la première formule. La seconde se démontre de même.

On peut également établir la formule géométriquement. Pour cela, on suppose, sans perte de généralité, que ${\displaystyle a>b}$. On construit D sur BC tel que BC = AC, et on place E sur la droite (AD) tel que BD = BE. On trace enfin F et G, les projetés orthogonaux de C et B respectivement sur (AD). On a alors :

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}={\frac {CF}{CD}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}={\frac {BG}{AB}}={\frac {BG}{c}}}$

Or, par le théorème de Thalès, on a :

${\displaystyle {\frac {CF}{CD}}={\frac {BG}{BD}}\Longleftrightarrow \cos {\frac {\gamma }{2}}={\frac {c\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{b-a}}}$

Ce qui permet d'établir la formule.

(en) « Mollweide's formula : A proof », sur math.stackexchange

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