Formule de Rodrigues

La formule de Rodrigues s'écrit :

• pour les polynômes de Legendre :${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$ ;
• pour les polynômes de Laguerre :${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {{\rm {e}}^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left({\rm {e}}^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)^{n}x^{n}}$ ;
• pour les polynômes d'Hermite :${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}{\rm {e}}^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)^{n}\cdot 1}$.

Il existe des formules similaires valables pour beaucoup d'autres suites de fonctions orthogonales issues des équations de Sturm-Liouville ; elles ont aussi pour nom formule de Rodrigues, en particulier lorsque ces fonctions sont polynomiales.