Formule de Rodrigues

En mathématiques, la formule de Rodrigues (anciennement appelée formule de Ivory-Jacobi) est une formule impliquant les polynômes de Legendre, indépendamment découverte par Olinde Rodrigues^[1], James Ivory^[2] et Charles Gustave Jacob Jacobi^[3]. Le nom « formule de Rodrigues » a été introduit par Eduard Heine en 1878^[4], après que Hermite eut souligné, dès 1865, que Rodrigues a été le premier à la découvrir. Le terme est également utilisé pour décrire des formules similaires pour d'autres suites de polynômes orthogonaux. Richard Askey^[5] décrit l'histoire de la formule de Rodrigues en détail.

Soient $(P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$ une suite de polynômes orthogonaux sur l'intervalle $[a,b]$ pour une fonction poids $w(x)$ , dont on suppose qu'elle est échelonnée $deg(P_{n})=n$ , et donc tels que $\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=K_{n}\delta _{m,n}$ où les constantes non nulles $K_{n}$ ne dépendent que de $n$ , et $\delta _{m,n}$ désigne le delta de Kronecker. Une des bornes de l'intervalle $[a,b]$ , voire les deux, peut être infini.

Théorème — Si $w(x)=W(x)/B(x),\quad {\frac {W'(x)}{W(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},$ où $A(x)$ est un polynôme de degré au plus 1 et $B(x)$ est un polynôme de degré au plus 2, et $\lim _{x\to a}x^{k}W(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}x^{k}W(x)=0.$ pour tout $k=0,1,2,\dots$ .

Alors si ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right]\neq 0$ pour tout $n=0,1,2,\dots$ , alors $P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],$ pour des constantes $c_{n}$ .

Preuve^[6]

Soit ${\textstyle F_{k}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{k}(B^{n}w)}$ , alors ${\textstyle F_{k}=B^{n-k}p_{k}}$ pour tout ${\textstyle k\in 0:n}$ pour des polynômes bien choisis ${\textstyle p_{k}}$ , avec ${\textstyle deg(p_{k})\leq k}$ . On peut alors montrer par induction sur ${\textstyle k}$ : $F_{k+1}=B^{n-k-1}(Bp_{k}'+(n-k)B'p_{k}+(A-B')p_{k})$

Soit ${\textstyle Q_{n}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{n}(B^{n}w)}$ . On a vu que ${\textstyle Q_{n}}$ est un polynôme de degré au plus $n$ . Par intégration par partis, on a pour tout ${\textstyle n>m}$ , $\int _{a}^{b}Q_{m}(x)Q_{n}(x)w(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}B^{n}(x)w(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}Q_{m}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x)\mathrm {d} x=0$ puisque ${\textstyle Q_{m}^{(n)}=0}$ . Ainsi, ${\textstyle Q_{0},Q_{1},\dots }$ forme une suite de polynômes pour le poids ${\textstyle w}$ . Ainsi, on a ${\textstyle P_{n}=c_{n}Q_{n}}$ pour des constantes ${\textstyle c_{n}}$ .

Théorème — $B(x)P_{n}''(x)+A(x)P_{n}'(x)+\lambda _{n}P_{n}(x)=0$

$\lambda _{n}=-{\frac {n(n-1)}{2}}B''-nA'$

Preuve^[6]^:2

L'égalité est triviale pour $n = 0$ . Pour $n = 1$ , elle se réduit à $AP_{1}'=A'P_{1}$ , qui est vraie car par construction $P_{1}={\frac {c_{1}}{w}}(Bw)'=c_{1}A$ .

On considère maintenant $n\geq 2$ . On pose $I_{n}(x)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(B^{n}(x)w(x))$ , alors par calcul direct et simplification, l'équation à prouver devient équivalente à

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(B(x)I_{n}(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A(x)I_{n}(x))+\lambda _{n}I_{n}(x)=0$

On remarque que, pour une fonction $y$ arbitraire, on a :

$B(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}y={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(B(x)y)-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}(B'(x)y)+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-2}}{\mathrm {d} x^{n-2}}}(B''y)$

$A(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}y={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(A(x)y)-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}(A'y)$

Cela nos permet de sortir les termes $A(x),B(x)$ hors de la dérivée $n$ -ième. On pose $y=B^{n}(x)w(x)$ , et on définit

$J(x)=\underbrace {{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(B(x)y(x))} _{J_{1}(x)}+\underbrace {(-n){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(B'(x)y(x))} _{J_{2}(x)}+\underbrace {{\frac {n(n-1)}{2}}B''(x)y(x)} _{J_{3}(x)}$

$K(x)=\underbrace {-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A(x)y(x))} _{K_{1}(x)}+\underbrace {nA'y(x)} _{K_{2}(x)}$

$L(x)=\lambda _{n}y(x)$

Alors l'équation se simplifie en ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(J+K+L)=0$

On a :

J_{3}(x)+K_{2}(x)+L(x)=\left(\lambda _{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}B''(x)+nA'(x)\right)y(x)=0

.

et on conclut en remarquant que

{\begin{aligned}J_{1}(x)&={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(B^{n}(x)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)\mathrm {d} x\right)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(nB'(x)B^{n-1}(x)+A(x)B^{n-1}(x)\right)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)\mathrm {d} x\right]\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(nB'(x)B^{n}(x)w(x)+A(x)B^{n}(x)w(x)\right)\\&=-J_{2}(x)-K_{1}(x)\end{aligned}}

On peut également établir la formule par la théorie de Sturm-Liouville. On définit l'opérateur $Lf:=-{\frac {1}{w}}(Wf')'$ , alors l'équation différentielle devient équivalente à $LP_{n}=\lambda _{n}P_{n}$ . On définit l'espace fonctionnel $X=L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$ comme l'espace de Hilbert de fonctions sur $[a,b]$ , tel que ${\displaystyle \langle f,g\rangle$ . Alors l'opérateur $L$ est auto-adjoint sur des fonctions satisfaisant certaines conditions aux limites, ce qui permet d'appliquer le théorème spectral.

Exemples

La formule de Rodrigues s'écrit :

pour les polynômes de Legendre^[7]^:741:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$ ;

pour les polynômes de Laguerre^[7]^:837:

$L_{n}(x)={\frac {{\rm {e}}^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left({\rm {e}}^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)^{n}x^{n}$ ;

pour les polynômes d'Hermite^[7]^:817:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}{\rm {e}}^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)^{n}\cdot 1$ .

pour les polynômes de Jacobi^[8]:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left\{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(1-x^{2}\right)^{n}\right\}.$

Il existe des formules similaires valables pour beaucoup d'autres suites de fonctions orthogonales issues des équations de Sturm-Liouville ; elles ont aussi pour nom formule de Rodrigues, en particulier lorsque ces fonctions sont polynomiales.

Formule de Rodrigues

Exemples

Références

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