La recherche sur l'extension de ce résultat conduit Saharon Shelah à l'invention d'une théorie appelée théorie PCF(en). Galvin donne une preuve élémentaire du théorème de Baumgartner-Hajnal ( ). La preuve originale de Baumgartner et Hajnal utilise le forçage et la technique de l'absolu(en). Galvin et Shelah également prouvent les relations de partition entre crochets et . Galvin prouve également la relation de partition où η désigne le type d'ordre de l'ensemble des nombres rationnels. Galvin et Karel Prikry prouvent que chaque ensemble Borel est Ramsey. Galvin et Komjáth montrent que l'axiome du choix équivaut à l'affirmation selon laquelle chaque graphe a un nombre chromatique.
![{\displaystyle \aleph _{1}\not \to [\aleph _{1}]_{4}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e475d64c25f21c5a699e22365d4b8fd62c98db5)
![{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\not \to [2^{\aleph _{0}}]_{\aleph _{0}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced5a19522d9606ffcb8b6b5da5fe842bd5fbcf4)
![{\displaystyle \eta \to [\eta ]_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c9158a9002be88a57b69234fdfb023dbca73dd)
