Soit k un corps, et soit la catégorie des k-algèbres commutatives et soit Set la catégorie des ensembles respectivement. Grâce au lemme de Yoneda, un schéma X sur un corps k est déterminé par son foncteur des points(en), à savoir le foncteur qui envoie A sur l'ensemble X(A) des A-points de X. On dit alors que ce foncteur est représentable par le schéma X. La grassmannienne affine est un foncteur allant des k-algèbres vers les ensembles qui n'est pas représentable mais qui admet une filtration par des foncteurs représentables. En tant que tel, bien qu’elle ne soit pas elle-même un schéma, on peut la voir comme une réunion infinie de schémas, ce qui suffit pour lui appliquer avec profit des méthodes géométriques pour l’étudier.
Soit G un groupe algébrique sur k. La grassmannienne affine GrG est le foncteur qui associe à une k-algèbre A l'ensemble des classes d'isomorphisme de paires (E,φ), où E est un espace homogène principal pour G sur et φ est un isomorphisme défini sur de E sur le G-fibré trivial . Par le théorème de Beauville-Laszlo(en), on peut également coder ces données en fixant une courbe algébriqueX sur k, un k-point x sur X, et en considérant E comme un G-fibré sur XA et φ une trivialisation sur (X − x)A. Lorsque G est un groupe réductif, GrG est en fait ind-projectif, c'est-à-dire que c'est une limite inductive de schémas projectifs.
Définition comme espace quotient
Soit l'anneau des séries formelles sur k et soit son corps des fractions, c'est-à-dire le corps des séries de Laurent formelles sur k. En choisissant une trivialisation de E sur entier, on peut identifier l'ensemble des k-points de GrG à l'espace quotient .
![{\displaystyle \operatorname {Spec} A[[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6657b628b046649eb43942ad22023e21b3d28eac)
![{\displaystyle {\mathcal {O}}=k[[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f57d5a23b3121e857e7574a09dace1062ec1e0)
