Groupe dual de Langlands
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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des représentations, le groupe dual de Langlands LG d'un groupe algébrique réductif G (également appelé L-groupe de G) est un groupe qui contrôle la théorie des représentations de G. Si G est défini sur un corps k, alors LG est une extension du groupe de Galois absolu de k par un groupe de Lie complexe. Il existe également une variante appelée forme de Weil du L-groupe, où le groupe de Galois est remplacé par un groupe de Weil. Ici, la lettre L dans le nom indique également le lien avec la théorie des fonctions L, en particulier les fonctions L automorphes. Le dual de Langlands a été introduit par Robert P. Langlands en 1967 dans une lettre à André Weil.
Le L-groupe est largement utilisé pour formuler les conjectures de Langlands émises par Robert Langlands. Il est utilisé pour rendre précises les idées selon lesquelles les formes automorphes sont en un sens fonctorielles en le groupe G lorsque k est un corps global. Ce n'est pas exactement par rapport à G que les formes et représentations automorphes sont fonctorielles, mais son dual LG. Cela donne un sens à de nombreux phénomènes, tels que le transfert de formes d'un groupe à un autre plus grand, et au fait général que certains groupes qui deviennent isomorphes après des extensions de corps ont des représentations automorphes liées entre elles.
À partir d'un groupe algébrique réductif sur un corps séparablement fermé K, on peut construire sa donnée radicielle (X*, Δ, X*, Δv), où X* est le réseau des caractères d'un tore maximal, X* le réseau dual (formé par les sous-groupes à 1 paramètre), Δ l'ensemble des racines et Δv l'ensemble des coracines. Un groupe algébrique réductif connexe sur K est déterminé de manière unique (à isomorphisme près) par sa donnée radicielle. Une racine radicielle contient légèrement plus d'informations que le diagramme de Dynkin, vu qu'elle détermine également le centre du groupe.
Pour toute donnée radicielle (X*, Δ, X*, Δv), on peut définir une donnée racine duale (X*, Δv, X*, Δ) en permutant le réseau des caractères avec celui des sous-groupes à 1 paramètre et en échangeant les racines avec les coracines.
Si G est un groupe algébrique réductif connexe sur le corps algébriquement clos K, alors son groupe dual de Langlands LG est le groupe réductif connexe complexe dont la donnée radicielle est duale de celle de G.
Exemples : Le groupe dual de Langlands LG a le même diagramme de Dynkin que G, sauf que les composantes de type Bn sont remplacées par des composantes de type Cn et vice versa. Si G a un centre trivial alors LG est simplement connexe, et si G est simplement connexe alors LG a un centre trivial. Le dual de Langlands de GLn(K) est GLn(C).
