Isomorphisme de Satake
un isomorphisme entre l’algèbre de Hecke d’un groupe réductif localement compact sur un corps local non-archimédien et un anneau d’invariants du groupe de Weyl associé
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En mathématiques, l'isomorphisme de Satake, introduit par Ichirō Satake en 1963, est un isomorphisme entre l'algèbre de Hecke d'un groupe réductif localement compact sur un corps local non-archimédien et un anneau d'invariants du groupe de Weyl associé[1].
L'équivalence géométrique de Satake en est une version géométrique, introduite en 2007.
Énoncé
Soit G un groupe de type de Lie, K un corps local non archimédien et O son anneau des entiers. L'isomorphisme de Satake identifie l'anneau de Grothendieck des représentations complexes du dual de Langlands LG de G, avec l'anneau des fonctions G(O)-invariantes à support compact sur la grassmannienne affine. Plus formellement,
![{\displaystyle \mathbb {C} _{c}[G(K)/G(O)]^{G(O)}\cong K_{0}({}^{\mathrm {L} }G-\operatorname {Rep} ).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf314191d80aa13c2d66c2d56d5480f9bd305338)
où G(O) agit sur G(K)/G(O) par multiplication à gauche.
Bibliographie
- Benedict H. Gross, « On the Satake isomorphism », dans Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), vol. 254, Cambridge University Press, coll. « London Math. Soc. Lecture Note Ser. », (DOI 10.1017/CBO9780511662010.006, MR 1696481), p. 223-237
- Ivan Mirković et Kari Vilonen, « Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings », Annals of Mathematics, 2e série, vol. 166, no 1, , p. 95-143 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2007.166.95, MR 2342692, arXiv 0401222)
- Ichirō Satake, « Theory of spherical functions on reductive algebraic groups over p-adic fields », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 18, , p. 5-69 (ISSN 1618-1913, MR 0195863, lire en ligne)
