Groupe hopfien
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En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe pour lequel tout épimorphisme est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.
Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses quotients propres. Par ailleurs, un groupe est dit co-hopfien (en) si tout monomorphisme est un isomorphisme.
Exemples de groupes hopfiens
- Tout groupe fini , par un argument de comptage simple.
- Plus généralement, un « polycyclic-by-finite group (en) », c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d'indice fini.
- Tout groupe libre finiment engendré.
- Le groupe des nombres rationnels.
- Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini.
- Tout groupe hyperbolique.
- Le groupe de Cremona[1].
Exemples de groupes non hopfiens
- Les groupes de Prüfer.
- Le groupe des nombres réels
- Le groupe de Baumslag-Solitar B(2,3).
