Groupe presque simple

• Les groupes simples non abéliens et leurs groupes d'automorphismes sont presque simples de façon triviale.
• Pour ${\displaystyle n=5}$ ou ${\displaystyle n\geq 7}$, le groupe alterné ${\displaystyle A_{n}}$ est simple et non abélien, et le morphisme canonique du groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$ dans ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\left(A_{n}\right)}}$ est bijectif. Pour ces valeurs de ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle S_{n}}$ est donc presque simple au sens trivial ci-dessus.
• ${\displaystyle S_{6}}$ est strictement compris entre le groupe simple ${\displaystyle A_{6}}$ et ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\left(A_{6}\right)}}$ — en raison de l'automorphisme extérieur exceptionnel de ${\displaystyle A_{6}}$ — et fournit donc un premier exemple non trivial de groupe presque simple. Deux autres groupes, le groupe simplement 3-transitif ${\displaystyle M_{10}}$ et le groupe projectif linéaire ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}{\left(\mathbb {F} _{9}\right)}}$, sont aussi strictement compris entre ${\displaystyle A_{6}}$ et ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\left(A_{6}\right)}}$.

Le groupe des automorphismes d'un groupe simple non abélien est un groupe complet, mais les sous-groupes propres du groupe des automorphismes ne sont pas nécessairement complets.