Hermann Vermeil
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Cet article est une ébauche concernant un mathématicien.
| Nom de naissance | Hermann Hans Anton Vermeil |
|---|---|
| Naissance |
Dresde (Saxe, Allemagne) |
| Décès | |
| Nationalité | allemande |
| Diplôme |
doctorat |
| Formation | |
| Famille |
Hans von Mangoldt (oncle maternel) |
Hermann Vermeil est un mathématicien allemand né le à Dresde et mort en . Il est l'éponyme du théorème de Vermeil[1] qu'il a publié en [1],[2],[3] et a établi l'unicité de la courbure scalaire[4] : celle-ci est l'unique invariant contenant les dérivées du tenseur métrique seulement au second ordre, et ce linéairement[4].
Hermann Hans Anton Vermeil naît le [5] à Dresde[5]. Il est le fils de Jacques Vermeil[5] et de son épouse Elisabeth née von Mangoldt[5]. Il est le neveu de Hans von Mangoldt (-)[6]. Il est de confession évangélique luthérienne[5].
De à , Wermeil est scolarisé à Dresde[5]. De à , il suit ses études secondaires au gymnasium de Dresde[5]. Il suit ses études supérieures en mathématiques[5] et en sciences naturelles[5] d'abord à l'école poytechnique de Dantzid[5] puis à l'université de Tübingen[5] et enfin à celle de Leipzig[5].
Vermeil devient l'assistant de Felix Klein (-)[7]. À la demande de celui-ci, il étudie la courbure scalaire[7]. Il prouve que celle-ci est l'unique invariant scalaire faisant intervenir des combinaisons linaires du tenseur métrique et de ses dérivées premières et secondes[7]. Plus tard, Hermann Weyl (-) et Max von Laue (-) donneront des preuves supplémentaires[7].
De à , Vermeil est le dernier assistant de Klein[8]. De à , il est responsable, avec Robert Fricke (-), de l'édition complète des œuvres de Klein[8].
Théorème de Vermeil
Le théorème de Vermeil est le théorème en vertu duquel la courbure scalaire est l'unique scalaire invariant construit à partir du tenseur de Riemann, du tenseur métrique, des dérivées premières et secondes de celui-ci qui soit linéaire dans les dérivées secondes du tenseur métrique[9],[10],[11].
Contexte
Pour les besoins de la relativité générale, Albert Einstein construit un tenseur de courbure : le tenseur d'Einstein. Il comprend la courbure scalaire. David Hilbert dérive le tenseur d'Einstein à partir d'une action[4] : l'action d'Einstein-Hilbert. Elle comprend la courbure scalaire. Ni Einstein ni Hilbert ne justifie, par des arguments mathématiques, le choix de la courbure scalaire[4].
Motivation
Felix Klein constate qu'il n'existe, dans la littérature mathématique, aucune publication permettant de justifier ce choix[4]. Il charge son assistant, Hermann Vermeil, de trouver ces arguments mathématiques[4].
Énoncé
À la suite[12] des physiciens théoriciens américains Charles W. Misner (-), Kip S. Thorne et John A. Wheeler (-), le théorème peut s'énoncer ainsi[13] :
La courbure scalaire est l'unique invariant de courbure, construit à partir du tenseur de courbure de Riemann et du tenseur métrique, qui :
- est linéaire dans les dérivées secondes du tenseur métrique ;
- ne contient pas de dérivées d'ordre supérieur du tenseur métrique ;
- s'annule dans un espace-temps plat.
De nos jours, le théorème de Vermeil est peu cité car son résultat est compris dans celui d'un théorème postérieur : le théorème de Cartan, publié par le mathématicien français Élie Cartan (-) en et établissant l'unicité du tenseur d'Einstein avec constante cosmologique[14],[15].
