Invariant de courbure (relativité générale)

En 1902, Charles Nelson Haskins (1874-1942) montre que 14 invariants de courbure, tous construits à partir du tenseur de courbure de Riemann et du tenseur métrique, et indépendants les uns des autres, permettent de caractériser la courbure d'une variété^[1],[2],[3]. En 1956, Jules Geheniau (1909-1991) et Robert Debever (1915-1998) présentent un tel ensemble d'invariants de courbure^{[1],[4],[5],[6],[7],[8]}. En 1949, V. V. Narlikar (en) (1908-1991) et K. R. Karmarkar présentent à leur tour un tel ensemble^[1],[9],[10]. Par la suite, plusieurs auteurs construisent divers ensembles d'invariants^[1]. En 1991, John Carminati et Raymond G. McLenaghan (en) montrent que le nombre de 14 invariants indépendants, antérieurement suggéré, ne suffit pas à caractériser la courbure d'un espace-temps dans le cas d'un fluide parfait^{[1],[11],[12]}. Ils construisent un ensemble de 16 invariants indépendants^[1]. En 1997, E. Zakhary et C. G. B. McIntosh construisent le premier ensemble complet d'invariants indépendants pour toutes les métriques possibles^{[1],[13],[14]}.

Les invariants de courbure sont notamment utilisés dans le cadre de l'étude des singularités de courbure^[1]. Ils servent également à la classification des tenseurs de courbure : par exemple, Corrado Segre les a utilisés pour établir sa classification du tenseur de Ricci sans trace (en) ; et, autre exemple, Alekseï Z. Petrov (en), pour établir sa classification du tenseur de Weyl (en)^[1]. Ils sont, en outre, utilisés dans le cadre de l'étude du problème de l'équivalence métrique, c'est-à-dire de la question de savoir si deux métriques d'espace-temps sont ou non équivalentes^[1].

En relativité générale, le scalaire de Ricci^{[15],[16],[17]} est l'invariant de courbure^{[18],[19],[20],[21]} présent dans le tenseur de courbure d'Einstein^[15]. Il est défini comme la trace du tenseur de courbure de Ricci^{[16],[17],[22]}. Il est « le plus simple » des invariants — non triviaux — de courbure^{[18],[20],[23]}. Il est l'unique invariant de courbure, construit à partir du tenseur de courbure de Riemann et du tenseur métrique, qui : 1) est linéaire dans les dérivées secondes du tenseur métrique ; 2) ne contient pas de dérivées d'ordre supérieur du tenseur métrique ; et 3) s'annule dans un espace-temps plat^[24],[25]. Il n'est constant que lorsque l'espace-temps est à symétrie maximale^{[17],[26],[27]}.

Les principaux invariants des tenseurs de Riemann et de Weyl d'une variété lorentzienne à quatre dimensions sont certains invariants polynomiaux quadratiques.

Les principaux invariants du tenseur de Riemann sont au nombre de trois^{[28],[29],[30],[31],[32]}. Ils sont notés ${\displaystyle K_{i}\;(i=1,2,3)}$^[28]. Ils sont désignés^{[28],[29],[30],[31],[32]} et définis^{[33],[34],[35]} comme suit :

• Le scalaire de Kretschmann : ${\displaystyle K_{1}=R_{abcd}R^{abcd}}$,
• Le scalaire de Chern-Pontryagin : ${\displaystyle K_{2}={^{*}R_{abcd}}R^{abcd}}$,
• Le scalaire d'Euler : ${\displaystyle K_{3}={^{*}R_{abcd}^{*}}R^{abcd}}$.

Ce sont des invariants polynomiaux quadratiques (somme des carrés des composants). Quelques auteurs définissent le scalaire de Chern-Pontryagin en utilisant le duale droit plutôt que le duale gauche.

L'éponyme du scalaire de Kretschmann^[36] est le physicien théoricien allemand Erich Kretschmann (en) (1887-1973) qui l'a introduit en 1915^{[37],[38],[39]}. Les deux autres noms sont quelque peu anachroniques, mais depuis que les intégrales des deux derniers sont liées au nombre d'instanton pour l'un et au caractéristique d'Euler pour l'autre, on peut les comprendre.

Les principaux invariants du tenseur de Weyl sont au nombre de deux^{[28],[29],[40]}. Ils sont notés ${\displaystyle I_{i}\;(i=1,2)}$^[28]. Ils sont définis comme suit^[33],[41] :

• ${\displaystyle I_{1}=C_{abcd}C^{abcd}}$,
• ${\displaystyle I_{2}={^{*}C_{abcd}}C^{abcd}}$.

(Parce que ${\displaystyle {^{*}C^{*}}_{abcd}=-C_{abcd}}$, il n'est pas nécessaire de définir un troisième invariant principal pour le tenseur de Weyl.)

Il existe une relation entre la décomposition de Ricci et les invariants de courbures. Si on applique cette décomposition au tenseur de Riemann pour donner un tenseur de Weyl ainsi qu'une somme de tenseurs du quatrième rang, qui sont par ailleurs construits à partir du tenseur du second rang de Ricci et du scalaire de Ricci., on observe que ces deux ensembles d'invariants sont liés (en dimension 4).

${\displaystyle K_{1}=I_{1}+R_{ab}R^{ab}-{1 \over 3}R^{2}}$

${\displaystyle K_{3}=-I_{1}+R_{ab}R^{ab}-{2 \over 3}R^{2}}$

En quatre dimensions, la décomposition de Bel du tenseur de Riemann par rapport à un champ vectoriel de temps ${\displaystyle {\vec {X}}}$, pas nécessairement en géodésique ou en hypersurface orthogonal, se compose de trois parties :

1. Le tenseur de la gravité électronique ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}X^{m}X^{n}}$
2. Le tenseur de la gravité magnétique ${\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={^{*}R_{ambn}}X^{m}X^{n}}$
3. Le tenseur de la gravité topologique ${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={^{*}R_{ambn}}X^{m}X^{n}}$

À cause du fait qu'ils soient tous transversaux, ils peuvent être représentés comme des opérateurs linéaires de vecteurs en trois dimensions, ou comme des matrices réelles 3x3. Ils sont respectivement symétriques, sans trace, et symétriques (6,8,6 composants linéaires indépendants, pour un total de 20). Si nous nommons ces opérateurs respectivement E,B, et L, les principaux invariants de Riemann sont obtenus comme suit :

• ${\displaystyle K_{1}/4}$ est la trace de E² + L² - 2 B B${\displaystyle ^{T}}$,
• ${\displaystyle -K_{2}/8}$ est la trace de B ( E - L ),
• ${\displaystyle K_{3}/8}$ est la trace de E L - B².