ISO 31-11

L'ISO 31-11:1992 est l'ancienne partie de la norme internationale ISO 31 qui définit « les signes et symboles mathématiques à utiliser dans les sciences physiques et la technologie. » Elle a été remplacée en 2009 par la norme ISO 80000-2:2009 puis révisée en 2019 en tant que ISO-80000-2:2019^[1].

Ses définitions incluent ce qui suit^[2] :

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Signe	Utilisation	Nom du symbole	Sens et énoncé	Remarques
∧	p ∧ q	Signe de conjonction	p et q
∨	p ∨ q	Signe de disjonction	p ou q ou les deux
¬	¬ p	Signe de négation	Négation de p; non p
⇒	p ⇒ q	signe d'implication	p entraîne q; p implique q	Peut aussi s'écrire q ⇐ p . → est parfois utilisé.
⇔	p ⇔ q	Signe d'équivalence	p ⇒ q et q ⇒ p; p équivaut à q	↔ est parfois utilisé.
∀	∀x∈A p(x) (∀x∈A) p(x)	Quantificateur universel	Pour tout x appartenant à A, la proposition p(x) est vraie	Si le contexte permet de savoir clairement quel est l'ensemble de A considéré, on peut utiliser la notation ∀x p(x)
∃	∃x∈A p(x) (∃x∈A) p(x)	Quantificateur existentiel	Pour au moins un élément x de A, p(x) est vrai	Si le contexte permet de savoir clairement l'ensemble A considéré, on peut utiliser la notation ∃xp(x). ∃! est utilisé pour indiquer l'existence d'un élément et d'un seul pour lequel p(x) est vrai.

Signe	Utilisation	Sens et énoncé	Remarques
∈	x ∈ A	x appartient à A; x est un élément de l'ensemble A
∉	y ∉ A	y n'appartient pas à A; y n'est pas un élément de l'ensemble A	La barre de négation peut aussi être verticale.
∋	A ∋ x	L'ensemble A contient x (comme élément)	A ∋ x a la même signification que x ∈ A.
∌	A ∌ y	L'ensemble A ne contient pas y (comme élément)	A ∌ y a la même signification que y ∉ A. La barre de négation peut aussi être verticale.
{ }	{xi, x₂, ..., x_n}	Ensemble dont les éléments sont x₁, x₂, ..., x_n	S'écrit aussi {x_i:i ∈ I} où I est un ensemble d'indices.
{ ∣ }	{x ∈ A ∣ p(x)}	Ensemble des éléments de A pour lesquels la proposition p(x) est vraie	Exemple {x ∈ $\mathbb {R}$ ∣ x ⩽ 5}Si le contexte permet de savoir clairement quel est l'ensemble A considéré, on peut utiliser la notation {x ∣ p(x)}. Exemple {x ∣ x ⩽ 5}
Card	Card (A)	Nombre d'éléments de A; cardinal de A
∅		Ensemble vide
$\mathbb {N}$		Ensemble des (nombres) entiers naturels	$\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, 3, ...} L'exclusion de zéro est notée par un astérisque, $\mathbb {N}$ ^*. $\mathbb {N}$ _k = {0, 1, ..., k − 1}
$\mathbb {Z}$		Ensemble des (nombres) entiers	$\mathbb {Z}$ = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} L'exclusion de zéro est notée par un astérisque, $\mathbb {Z}$ ^*.
$\mathbb {Q}$		Ensemble des (nombres) rationnels	L'exclusion de zéro est notée par un astérisque, $\mathbb {Q}$ ^*
$\mathbb {R}$		Ensemble des (nombres) réels	L'exclusion de zéro est notée par un astérisque, $\mathbb {R}$ ^*
$\mathbb {C}$		Ensemble des (nombres) complexes	L'exclusion de zéro est notée par un astérisque, $\mathbb {C}$ ^*
[,]	[a,b]	Intervalle fermé dans $\mathbb {R}$ de a (inclus) à b (inclus)	[a,b] = {x ∈ $\mathbb {R}$ ∣ a ⩽ x ⩽ b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	Intervalle semi-ouvert dans $\mathbb {R}$ de a (exclu) à b (inclus)	]a,b] = {x ∈ $\mathbb {R}$ ∣ a < x ⩽ b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	Intervalle semi-ouvert dans $\mathbb {R}$ de a (inclus) à b (exclu)	[a,b[ = {x ∈ $\mathbb {R}$ ∣ a ⩽ x < b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	Intervalle ouvert dans $\mathbb {R}$ de a (exclu) à b (exclu)	]a,b[ = {x ∈ $\mathbb {R}$ ∣ a < x < b}
⊆	B ⊆ A	B est inclus dans A; B est contenu dans A; B est une partie de A	Tous les éléments de B appartient à A. ⊂ est aussi utilisé.
⊂	B ⊂ A	B est strictement inclus dans A; B est strictement contenu dans A	Tout élément de B appartient à A, mais B n'est pas égal à A. Si ⊂ est utilisé pour "inclus", ⊊ doit être utilisé pour "strictement inclus".
⊈	C ⊈ A	C n'est pas inclus dans A; C n'est pas contenu dans A; C n'est pas une partie de A	⊄ est aussi utilisé. La barre de négation peut aussi être verticale.
⊇	A ⊇ B	A contient B (comme partie)	A contient tout élément de B. ⊃ est aussi utilisé. A ⊇ B a la même signification que B ⊆ A.
⊃	A ⊃ B.	A contient B strictement	A contient tout élément de B, mais A n'est pas égal à B. Si ⊃ est utilisé pour "contient", ⊋ doit être utilisé pour "contient strictement".
⊉	A ⊉ C	A ne contient pas C (comme sous-ensemble)	⊅ est aussi utilisé. La barre de négation peut aussi être verticale. A ⊉ C a la même signification que C ⊈ A.
∪	A ∪ B	Réunion de A et B	Ensemble des éléments appartenant à A, ou à B ou à A et à B. A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
⋃	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$	Réunion des ensembles _{A₁, ..., A_n}	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ , l'ensemble des éléments appartenant au moins à un des ensembles $A 1, ..., A n$ . $\bigcup {}_{i=1}^{n}$ et $\bigcup _{i\in I}$ , $\bigcup {}_{i\in I}$ sont aussi utilisés, où I est un ensemble d'indices.
∩	A ∩ B	Intersection de A et B, s'énonce A inter B	Ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
⋂	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$	Intersection des ensembles $A 1, ..., A n$	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$ , l'ensemble des éléments appartenant à la fois à $A 1, ..., A n$ . $\bigcap {}_{i=1}^{n}$ et $\bigcap _{i\in I}$ , $\bigcap {}_{i\in I}$ sont aussi utilisés, où I est un ensemble d'indices.
\	A \ B	Différence de A et de B; A moins B	Ensemble des éléments de A n'appartenant pas à B. A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Il convient de ne pas utiliser A − B.
∁	∁_AB	Complémentaire de la partie B de A	Ensemble des éléments (d'un ensemble A) n'appartenant pas à la partie B de A. Si le contexte permet de savoir clairement quel est l'ensemble A considéré, le symbole A est souvent omis. On a aussi ∁_AB = A ∖ B
(,)	(a, b)	Couple a, b	(a, b) = (c, d) si et seulement si a = c et b = d. ⟨a, b⟩ est aussi utilisé.
(,...,)	$(a 1, a 2, ..., a n)$	n-uplet; multiplet	⟨a₁, a₂, ..., a_n⟩ est aussi utilisé.
×	A × B	Produit (cartésien) de A et de B	Ensemble des couples (a, b) pour lesquels a ∈ A and b ∈ B. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A est noté Aⁿ, où n est Le nombre de facteurs du produit.
Δ	Δ_A	Ensemble des couples (x, x) de A × A, avec x ∈ A; diagonale de A × A	Δ_A = { (x, x) ∣ x ∈ A } id_A est aussi utilisé.

Signe		Utilisation	Sens, énoncé	Remarques et exemples
HTML	TeX	Utilisation	Sens, énoncé	Remarques et exemples
=	$=$	a = b	a est égal à b	≡ peut être utilisé pour souligner le fait qu'une égalité est une identité.
≠	$\neq$	a ≠ b	a est différent de b	La barre de négation peut aussi être verticale.
≝	${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$	a ≝ b	a est égal par définition à b^[2].	Exemple p ≝ mv, où p est la quantité de mouvement, m la masse et v la vitesse. := est aussi utilisé.
≙	${\stackrel {\wedge }{=}}$	a ≙ b	a correspond à b	EXEMPLES Étant donné que E= kT, 1 eV≙ 11 604,5 K. Lorsque 1 cm sur une carte correspond à une longueur de 10 km, on peut écrire 1 cm ≙ 10 km.
≈	$\approx$	a ≈ b	a est approximativement égal à b	Le symbole ≃ est réservé pour "est asymptotiquement égal à".
∼ ∝	${\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}$	a ∼ b a ∝ b	a est proportionnel à b
<	$<$	a < b	a est strictement inférieur à b
>	$>$	a > b	a est strictement supérieur à b
⩽	$\leq$	a ⩽ b	a est inférieur ou égal à b	Les symboles ≤ et ≦ sont aussi utilisés.
⩾	$\geq$	a ⩾ b	a est supérieur ou égal à b	Les symboles ≥ et ≧ sont aussi utilisés.
≪	$\ll$	a ≪ b	a est très inférieur à b
≫	$\gg$	a ≫ b	a est très supérieur à b
∞	$\infty$		Infini

ISO 31-11

Ensembles

Symboles divers

Notes et références

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