Icosaèdre de Jessen

On peut choisir un repère dans lequel les 12 sommets de l'icosaèdre de Jessen ont pour coordonnées les 3 permutations circulaires de ${\displaystyle (\pm 2,\pm 1,0)}$^[1]. Dans cette représentation, les 24 arêtes courtes (correspondant aux angles diédraux convexes) sont de longueur ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$, et les 6 autres arêtes sont de longueur ${\displaystyle 4}$. Huit faces sont des triangles équilatéraux (de côtés ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$), et les douze autres faces sont des triangles isocèles dont la base est une arête longue^[2].

Une forme combinatoirement semblable part d'un icosaèdre régulier et remplace certaines paires de faces adjacentes par des paires de triangles isocèles ; cette forme a parfois été appelée également (et incorrectement) « icosaèdre de Jessen »^[3],[4]. Cependant, cette construction ne donne pas les angles droits souhaités, et il faut déplacer les sommets pour les obtenir.

L'icosaèdre de Jessen est isogonal, c'est-à-dire qu'il existe des déplacements envoyant n'importe quel sommet sur n'importe quel autre^[5]. Ses angles dièdres sont tous droits ; on en déduit la construction d'une vaste famille de polyèdres ayant cette propriété en collant des copies de l’icosaèdre de Jessen par leurs faces équilatérales^[1].

Bien que ce ne soit pas un polyèdre flexible, l'icosaèdre de Jessen n'est pas non plus infinitésimalement rigide : de très petits changements dans la longueur des côtés peuvent amener à des changements importants des angles diédraux, donnant aux modèles physiques l'apparence d'être flexibles (on parle de « polyèdre tremblotant »)^[6],[7],[8].

L'icosaèdre de Jessen ne peut être triangulé en tétraèdres sans ajouter de nouveaux sommets (le polyèdre le plus simple ayant cette propriété est le polyèdre de Schönhardt (en))^[9]. Cependant, comme son invariant de Dehn est nul, il peut être découpé en pièces polygonales et réassemblé pour former un cube^[1].