Image réciproque

• L'image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$ d'un singleton ${\displaystyle \{y\}}$ par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f.
• Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f⁻¹({a, b}) = {1}.

Avec cette définition, f⁻¹ est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f⁻¹, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f⁻¹. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane^[1] parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f_* au lieu de f⁻¹.

• Pour toutes parties ${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle B_{2}}$ de ${\displaystyle Y}$ :

  ${\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\cup B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$ ;

  ${\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\cap B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$ ;

  ${\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$.

• Pour toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm {Im} (f)}$^[2].
  • En particulier, si ${\displaystyle f}$ est surjective alors ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$.

    On peut même prouver^[2] que ${\displaystyle f}$ est surjective si et seulement si pour toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ on a ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$.

• Pour toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))}$.

  L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si ${\displaystyle f}$ n'est pas injective.

  On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ on a ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$.

• Pour toute famille ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle Y}$ :

  ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}$ ;

  ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}$.

• Si l'on considère de plus une application ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$, alors l'image réciproque d'une partie ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle Z}$ par la composée ${\displaystyle g\circ f}$ est :

  ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$^[1].