Inconnue (mathématiques)

Un exemple de question introduisant une inconnue est :

L'usage d'une inconnue permet de résoudre cette question. Si X désigne le tas, la question se résume à trouver la solution de l'équation suivante :

${\displaystyle (1)\quad X+{\frac {1}{5}}X=21}$

En effet, répondre à la question consiste à trouver une valeur telle que, si l'inconnue X est remplacée par cette valeur, l'égalité est vraie. Ceci montre bien que le problème se formalise par l'équation (1) et la recherche de sa solution. Pour toute valeur, la valeur et son cinquième est égale à 6/5 de la valeur, l'équation (1) peut prendre la forme suivante :

${\displaystyle (2)\quad {\frac {6}{5}}X=21}$

Si deux valeurs sont égales, le produit de chacune des deux valeurs par 5 sont encore égales, il est possible de multiplier les deux membres de l'égalité (2), sans pour autant modifier les solutions des équations associées, et :

${\displaystyle (3)\quad 6X=21\times 5=105}$

Le même raisonnement montre qu'il est possible de diviser par 6 les deux membres de l'équation (3), sans changer la racines de l'équation associée. On obtient X = 105/6 = 35/2 = 17+1/2. La valeur de la solution est explicitée, le tas est égal à 17+1/2.

L'équation (1) se compose, pour chacun des deux membres de l'égalité, d'une somme de termes formés, soit d'un produit d'un nombre et de l'inconnue, soit d'un nombre. Ce type d'équation est dite du premier degré.

Cet exemple met en valeur deux propriétés de l'inconnue et de l'équation qui l'utilise. La première traite des propriétés algébriques de l'inconnue. Le passage de l'égalité (1) à la (2) est obtenue à l'aide d'une factorisation, une somme de deux termes X + 1/5.X est égale à un produit 6/5.X. Il est possible d'additionner deux termes contenant une inconnue exactement comme si l'inconnue était un nombre. De même, il est possible de multiplier l'inconnue par 5 et de la diviser par 6, ou encore de la multiplier par 5/6. On peut additionner et multiplier des termes contenant l'inconnue, par un nombre ou encore par une expression contenant l'inconnue. Ces facultés sont appelées propriétés algébriques de l'inconnue car elles traitent de son comportement vis-à-vis des opérations somme et produit.

La deuxième propriété est parfois appelée le principe de la balance^[4]. L'égalité définissant l'équation peut être vue comme deux plateaux d'une balance, si les valeurs sont assimilées à des poids. L'égalité est vérifiée si les poids, à droite et à gauche du signe égal, sont les mêmes. Si tel est le cas, on peut ajouter, retrancher, multiplier ou diviser les poids de la même manière à droite et à gauche sans modifier l'équilibre. On utilise ce principe pour passer de l'égalité (2) à la (3), on multiplie par 5 de chaque côté de l'égalité.

L'inconnue permet de résoudre des problèmes plus difficiles. L'exemple choisi ici est dit du second degré :

Dans un premier temps, l'objectif est de traduire la question posée en une équation. Comme le périmètre est égal à 40, la somme de la longueur et de la largeur est égale à 20. On considère la demi-somme c'est-à-dire 10. L'inconnue choisie ici, notée X, représente la valeur à ajouter à 10 pour obtenir la longueur, par définition égale à 10 + X. La somme de la longueur et de la largeur est égale à 20, ce qui signifie que la largeur est égale à 10 - X. Dire que l'aire est égale à 96 revient à dire que le produit de la longueur et de la largeur est égal à 96, ce qui permet de construire l'équation répondant à la question :

${\displaystyle (1)\quad (10+X)(10-X)=96\;}$

Dans un deuxième temps, on applique des transformations à l'équation de telle manière à rendre visible la ou les valeurs possible(s) de X pour l'instant cachée(s) dans l'équation. Ces valeurs, que l'on rend visible, sont aussi appelées racines. Une identité remarquable est vraie pour tout couple de nombres, elle est aussi applicable à une expression contenant une inconnue :

${\displaystyle (10+X)(10-X)=10^{2}-X^{2}=100-X^{2}\;}$

Cette identité remarquable permet d'écrire différemment l'équation (1) :

${\displaystyle (2)\quad 100-X^{2}=96\;}$

Ajouter X² - 96 à chacun des deux membres de l'égalité ne modifie pas les solutions de l'équation :

${\displaystyle 4=X^{2}\;}$

Comme la longueur est plus grande que la largeur, X est nécessairement positif, la seule solution acceptable est 2.

Dans un troisième temps, on explicite la solution et on vérifie qu'elle est exacte. La longueur est égal à 10 + 2, soit 12 et la largeur à 10 - 2, soit 8. La somme de la longueur et de la largeur est bien égale à 20 et le périmètre à 40. Le produit de la longueur et de la largeur vaut 8 x 12 soit 96, on trouve bien l'aire recherchée. L'usage d'une inconnue permet de résoudre la question.

Cet exemple offre un double enseignement sur l'usage de l'inconnue pour la résolution d'une question. Une démarche possible se déroule en trois temps. En premier lieu, la question posée est traduite sous forme d'équation, comportant par définition une inconnue. Ensuite, une série de transformations dites algébriques rendent visibles la racine, initialement cachée dans l'équation. Ces transformations ont pour but d'isoler l'inconnue dans un des côtés de l'égalité définissant l'équation. Les identités remarquables sont fort utiles pour parvenir à cette isolation. Enfin, on vérifie que la solution trouvée est bien la réponse à la question posée.

Les deux exemples introductifs illustrent les raisons de la puissance de la méthode. Elle provient du fait qu'il est possible d'opérer sur l'inconnue exactement comme sur une valeur 2, 5 ou √2. Ainsi, la somme de deux multiples de X est le produit de la somme des multiples, par X; par exemple :

${\displaystyle 3X+4X=(3+4)X=7X\;}$

Cette règle est encore valable pour les nombres rationnels ou réels :

${\displaystyle {\frac {3}{4}}X+{\frac {4}{5}}X={\frac {15}{20}}X+{\frac {16}{20}}X={\frac {31}{20}}X\;}$

L'associativité de l'addition et de la multiplication est inchangée :

${\displaystyle 2X+(3X+4X)=(2X+3X)+4X=9X\quad {\text{et}}\quad 2(3X)=(2\times 3)X=6X\;}$

La distributivité de la multiplication sur l'addition est vérifiée sur des expressions contenant une inconnue exactement comme sur les valeurs habituelles :

${\displaystyle (X+2)(X+3)=X(X+3)+2(X+3)=X^{2}+3X+2X+6=X^{2}+5X+6\;}$

Les puissances d'inconnues suivent les mêmes règles que celles usuelles :

${\displaystyle X^{3}\cdot X^{2}=X^{5}\quad {\text{et}}\quad {\frac {X^{5}}{X^{2}}}=X^{3}}$

certaines identités polynomiales sont appelées « identités remarquables » :

${\displaystyle (x+10)^{2}=x^{2}+20x+100,\quad (2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9,\quad (x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}})=x^{2}-2}$

Ces identités sont vraies quel que soit le nombre que l'on substitue aux variables, ici x. Les équations s'écrivent également comme des égalités, mais qui ne sont en général pas toujours vraies, on cherche justement quelles valeurs substituer à la variable pour que l'égalité soit réalisée. Il est possible d'utiliser une identité pour une variable, jouant éventuellement le rôle d'inconnue dans une équation, ou plus généralement pour toute expression, par exemple polynomiale, utilisant une variable.

Elles sont utiles pour résoudre certaines équations polynomiales, comme celles du second degré. Un exemple est traité dans l'article détaillé, et le cas général dans l'article équation du second degré.

Une erreur fréquente consiste à diviser deux membres d'une équation par 0, ce qui n'a pas de sens et induit des résultats absurdes. Avec des inconnues, l'erreur est moins flagrante et demande une attention plus soutenue pour l'éviter. Considérons, pour s'en rendre compte, l'égalité entre deux inconnues : X = Y. Cette équation est équivalente aux égalités suivantes :

${\displaystyle Y^{2}=XY,\quad -Y^{2}=-XY,\quad X^{2}-Y^{2}=X^{2}-XY=X(X-Y)\;}$

On peut appliquer une identité remarquable à la dernière égalité et, semble-t-il diviser par (X- Y) chaque membre de l'égalité :

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}=X(X-Y),\quad (X+Y)(X-Y)=X(X-Y)\;{\overset {?}{\Rightarrow }}\;X+Y=X}$

La dernière égalité est étrange, si l'on choisit X égal à 1, Y qui est égal à X est aussi égal à 1 et il semble que l'on a démontré que 2 est égal à 1. L'erreur est commise sur le point d'interrogation, l'implication suppose une division à droite et à gauche de l'égalité par (X- Y). Or comme X est égal à Y, les deux termes sont égaux à 0. Cette division, qui n'a pas de sens, conduit à un résultat absurde.

Le premier sens du mot est associé aux questions comme celle du premier paragraphe : Un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ? le terme inconnue désigne la valeur du tas.

La question précédente pourrait s'exprimer sous la forme d'une équation, ce n'est pas toujours le cas : Il y a 5 ans Alice était plus de trois fois plus jeune que Béatrice, qui a maintenant 32 ans. Que sait-on sur l'âge d'Alice ?. L'inconnue est maintenant l'âge d'Alice, répondre à la question revient à dire qu'Alice a entre 5 et 14 ans. L'inconnue se situe donc entre 5 et 14. On voit bien la présence d'une inconnue, mais pas de possibilité de traduire la question sous la forme d'une équation, c'est-à-dire d'une égalité. On parle ici d'inéquation.

L'inconnue n'est pas toujours une valeur, une vieille légende^[6] raconte que la reine Didon cherchait à trouver, dans un demi-plan, la surface de périmètre donné et de plus grande aire possible^[7]. Cette fois-ci, l'inconnue n'est plus une valeur ou un nombre, mais une figure géométrique, la solution est un demi-disque.

Cette définition, très générale, n'est pas toujours du goût des historiens. Ils considèrent que le terme inconnue, au sens mathématique, s'applique uniquement si l'inconnue dispose d'un minimum de propriétés mathématiques. Ce sens plus précis permet de définir les origines d'une branche des mathématiques appelée algèbre^[8].

Répondre à la question : Un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ?, peut se faire, sans opérer sur une inconnue. La méthode de la fausse position, qui était utilisée dès l'Égypte antique, en est une illustration. Elle fonctionne en trois étapes^[9] :

• On essaie une première valeur, pour laquelle les calculs sont simples. Si l'inconnue valait 5, le tas et son cinquième vaudrait 5 + 5/5 soit 6. Cette valeur n'est pas celle recherchée.
• On cherche ensuite à appliquer une règle de trois. Par quoi faut-il multiplier 6 pour obtenir 21 ? par 21/6 ou encore 7/2 = 3 + 1/2.
• On multiplie la première valeur essayée, soit 5, par le rapport trouvé dans la règle de trois soit 3 + 1/2. On trouve 15 + 5/2 soit 17 + 1/2. C'est la valeur de l'inconnue recherchée.

Ici, le terme inconnue est synonyme de tas. Il correspond à un terme générique, plus proche de la langue parlée que du concept mathématique.

Recherchons maintenant la géométrie d'un rectangle d'aire 96 et de périmètre 40. Si cette surface était un carré, comme son périmètre est 40, son côté serait 10. L'aire est trop grande puisqu'elle vaut 100, au lieu de 96 et elle dépasse de 4. Retranchons au carré d'aire 100, un petit carré d'aire 4 et donc de côté 2. On obtient un gnomon illustré sur la figure de gauche.

La figure de gauche possède à la fois la bonne aire et le bon périmètre, mais ce n'est pas un rectangle. On considère la bande, illustrée en rouge sur la figure de droite. Elle est exactement de la même dimension que le rectangle vert de la même figure. Retrancher la zone rouge et ajouter la zone verte ne modifie ni le périmètre ni l'aire de la figure.

Le bon rectangle est de longueur 12 et de largeur 8. L'inconnue de la question du deuxième paragraphe est donc 12, correspondant à la longueur d'un rectangle d'aire 96 et de périmètre 40.

Une fois encore, cette méthode a permis de résoudre l'équation sans poser d'équation ni opérer sur une inconnue.

Les équations polynômiales (à une inconnue) s'écrivent comme des égalités entre termes n'utilisant comme opérations que l'addition et la multiplication sur une inconnue et des nombres déterminés. Il est toujours possible de les écrire comme l'égalité à 0 d'un terme, appelé polynôme, qui est une somme de produits d’un nombre et d’une puissance de l'inconnue. Les équations des exemples introductifs sont des équations polynomiales.

La résolution des équations polynomiales, ou algébriques, a joué un rôle important dans la naissance et le développement de l'algèbre. La branche des mathématiques traitant de ces cas s'appelait théorie des équations.

On cherche à trouver une valeur x telle que^[10] :

${\displaystyle (1)\quad {\frac {x}{10-x}}+{\frac {10-x}{x}}={\sqrt {5}}}$

Cette équation se traduit en une équation algébrique en multipliant par x et 10 - x (x doit être différent de 0 et de 10 pour que l'équation initiale ait un sens).

${\displaystyle (2)\quad x^{2}+10{\sqrt {5}}-200=10x}$

C'est une équation du second degré que l'on peut résoudre directement. Abu Kamil, un algébriste arabe du début du X^e siècle, à l'idée d'une solution plus simple en choisissant une inconnue auxiliaire. Traduit en termes modernes (Abu Kamil ne dispose pas de notre langage symbolique), il définit y comme représentant (10 - x)/x. L'équation (1) s'écrit maintenant :

${\displaystyle (3)\quad y+{\frac {1}{y}}={\sqrt {5}}}$

EN multipliant cette équation par y, on obtient une troisième équation :

${\displaystyle (4)\quad y^{2}+1={\sqrt {5}}\cdot y}$

Cette fois-ci, l'équation (4) est de la famille décrite dans la définition précédente. On obtient :

${\displaystyle y^{2}-{\sqrt {5}}\cdot y+1=0}$

puis

${\displaystyle y^{2}-2{\frac {\sqrt {5}}{2}}y+{\frac {5}{4}}={\frac {1}{4}}}$

Le membre de droite est une identité remarquable. Avec le formalisme utilisé, on peut écrire autrement l'équation :

${\displaystyle \left(y-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}$

On en déduit deux solutions pour l'équation (3) 1/2(√5 + 1) et 1/2(√5 - 1). L'égalité définissant y, donne, pour chacune des valeurs possibles de y, une équation du premier degré en x. On trouve finalement les solutions 5(√5 - 1) et 5(3 - √5).

Les équations algébriques ne permettent pas de résoudre toutes les questions. Il en existe d'autres, soit parce que l'équation s'exprime avec des fonctions qui ne sont pas algébriques, comme le sinus, soit tout simplement parce que la valeur recherchée n'est pas dans un simple ensemble de nombres, comme pour la question que se posait Didon, ou pour l'équation qui régit le mouvement d'une planète autour du soleil, dont l'inconnue est ce mouvement même, et que l'on qualifie de différentielle. Une équation s'écrit plus généralement^[11] :

${\displaystyle f(x)=g(x)\;}$

L'inconnue x est une variable, f(x) et g(x) sont des fonctions, elles associent à une valeur, par exemple 1, les nombres notés f(1) et g(1). Si on considère les polynômes comme des fonctions, les équations algébriques s'expriment bien de cette façon. Il est théoriquement possible de mettre toutes les équations sous cette forme^[12], à condition de considérer l'inconnue x comme pouvant appartenir à un ensemble arbitraire (de nombres, de vecteurs, de fonctions, etc.) et les fonctions f et g comme, elles aussi, complètement générales.

On cherche à répondre à la question suivante : un coureur se déplace sur une piste circulaire d'un rayon de 100 mètres. Le disque ayant pour frontière la piste, contient une ligne blanche qui parcourt un diamètre, le coureur part d'un point diamètre et de la piste. Quelle distance le coureur a-t-il parcouru la première fois qu'il se trouve à 50 mètres de la ligne blanche ?

La distance parcourue est l'inconnue x de la question, qui se formalise par l'équation suivante :

${\displaystyle 100\cdot \sin \left({\frac {x}{100}}\right)=50\quad {\text{ou}}\quad (1)\quad 100\cdot \sin \left({\frac {x}{100}}\right)-50=0}$

On trouve comme réponse 100.π/6, soit un peu moins de 52,4 mètres. Le terme de gauche de l'équation (1) peut être considéré comme une fonction, qui à x associe la valeur du membre de gauche de l'équation.