Intégrale de Volkenborn

Soit ${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}$ une fonction définie sur les entiers p-adiques à valeurs p-adiques. L'intégrale de Volkenborn est définie par la limite, si elle existe, de sommes de Riemann^[1], c'est-à-dire

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}$

Plus généralement, si

${\displaystyle R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ for }}r<n\right\}}$

alors

${\displaystyle \int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).}$

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Via la formule de Faulhaber, pour un entier ${\displaystyle k}$ quelconque,

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}}$,

où ${\displaystyle B_{k}}$ est le ${\displaystyle k}$^e nombre de Bernoulli. En particulier,

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1}$, ${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}}$.

L'intégrale de Volkenborn d'un coefficient binomial est donnée par

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$.

Par développement en série de Taylor, puis par intégration terme à terme, les intégrales de fonctions exponentielles p-adiques vérifient

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}}$,

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}}$.

Le logarithme d'Iwasawa ${\displaystyle \log _{p}}$ est d'intégrale

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)}$,

où ${\displaystyle \psi _{p}}$ est la fonction digamma p-adique.