Intégrales à double opérateur

On considère un espace de Hilbert ${\displaystyle H=G}$ et deux opérateurs autoadjoints bornés ${\displaystyle A,B}$ sur ${\displaystyle H}$. Soit maintenant ${\displaystyle \operatorname {T}$ :=B-A} et ${\displaystyle f}$ une fonction sur un ensemble contenant les spectres de ${\displaystyle A,B}$. De plus, laissez ${\displaystyle \operatorname {J} _{f}:=\operatorname {J} _{f}^{E,F}}$ être le transformateur et ${\displaystyle I}$ être l'opérateur d'identité. D'après le théorème spectral, ${\displaystyle \operatorname {J} _{\lambda }I=A}$ et ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mu }I=B}$ et ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {T} }$, il s'ensuit :

${\displaystyle f(B)-f(A)=\operatorname {J} _{f(\mu )-f(\lambda )}I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {T} =\operatorname {Q} _{\varphi }}$

Et ainsi :

${\displaystyle f(B)-f(A)=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}(\mu -\lambda )\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\mathrm {d} F_{B}(\mu )=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\operatorname {T} \mathrm {d} F_{B}(\mu ).}$

• (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 1,‎ 1967, p. 25-54
• (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals. II », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 2,‎ 1968, p. 19-46
• (en) Vladimir V. Peller, « Multiple operator integrals in perturbation theory », Bull. Math. Sci., vol. 6,‎ 2016, p. 15-88 (DOI 10.1007/s13373-015-0073-y)
• (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, Lectures on Double Operator Integrals, 2002
  un mini-cours donné par les auteurs à l'Institut Mittag-Leffler
• (en) Alan Carey et Galina Levitina, « Double Operator Integrals », dans Index Theory Beyond the Fredholm Case, Cham, Springer, 2022 (DOI 10.1007/978-3-031-19436-8_2), p. 15-40.

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