Inégalité d'Askey-Gasper

En mathématiques, l'inégalité d'Askey-Gasper est une inégalité sur les polynômes de Jacobi démontrée par Richard Askey et George Gasper (en) en 1976^[1] et qui est utilisée dans la démonstration de la conjecture de Bieberbach^[2].

L'énoncé est :

Inégalité d'Askey-Gasper — Pour $β \geq 0$ , $α + β \geq 2$ et $-1 \leq x \leq 1$ , on a

\sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0

où $P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ est un polynôme de Jacobi.

Pour $β = 0$ , la formule peut s'écrire

{}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\quad {\text{  avec  }}\quad \ 0\leq t<1,\ \alpha >-1.

C'est dans cette forme, avec $α$ entier, que l'inégalité a été utilisée par Louis de Branges dans sa démonstration de la conjecture de Bieberbach.

Démonstration

Shalosh B. Ekhad^[3] a donné une preuve courte de cette inégalité, en combinant l'inégalité :

{\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}