Inégalité de Hadwiger-Finsler

• L'inégalité de Weitzenböck est un corollaire simple de l'inégalité de Hadwiger – Finsler ; avec les mêmes notations, elle s'écrit :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 4{\sqrt {3}}S\quad {\mbox{(W)}}.}$

L'inégalité de Hadwiger-Finsler est en fait équivalente à l'inégalité de Weitzenböck. Appliquer (W) au triangle formé des milieux des trois arcs découpés sur le cercle circonscrit par les sommets donne (HF) ^[1].

L'inégalité de Weitzenböck peut aussi être prouvée directement à l'aide de la formule de Héron.

• Il existe une version pour le quadrilatère : pour un quadrilatère convexe ${\displaystyle ABCD}$ de côtés de longueurs ${\displaystyle a,b,c,d}$ et d'aire ${\displaystyle S}$ on a ^[2]:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geqslant 4S+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}}$

où${\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}}$, avec égalité pour le carré.

Summarize Timeline Fact Check

La formule d'Alkashi :

peut se transformer en :

Comme ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bc\sin A}$, on a :

En ajoutant les égalités similaires obtenues pour les 3 côtés du triangle, on obtient :

Or, puisque les demi-angles du triangle sont inférieurs à π/2 et que la fonction tan est convexe, on a :

Ce qui donne l'inégalité de Hadwiger-Finsler: