Inégalité de Jackson

Pour les polynômes trigonométriques, le résultat suivant a été démontré par Dunham Jackson :

Théorème 1 : Si ${\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }$ est une fonction périodique différentiable r fois telle que

${\displaystyle \left|f^{(r)}(x)\right|\leq 1,\qquad x\in [0,2\pi ],}$

alors, pour chaque entier strictement positif ${\displaystyle n}$, il existe un polynôme trigonométrique ${\displaystyle T_{n-1}}$ de degré au plus ${\displaystyle n-1}$ tel que

${\displaystyle \left|f(x)-T_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {C(r)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ],}$

où ${\displaystyle C(r)}$ dépend uniquement de ${\displaystyle r}$.

Le théorème d'Akhiezer-Krein-Favard donne la valeur exacte de ${\displaystyle C(r)}$ (appelée constante d'Akhiezer-Krein-Favard ) :

${\displaystyle C(r)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k(r+1)}}{(2k+1)^{r+1}}}~.}$

Jackson a également prouvé la généralisation suivante du théorème précédent :

Théorème 2 : On peut trouver un polynôme trigonométrique ${\displaystyle T_{n}}$ de degré ${\displaystyle \leq n}$ tel que

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq {\frac {C(r)\omega \left({\frac {1}{n}},f^{(r)}\right)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ],}$

où ${\displaystyle \omega (\delta ,g)}$ désigne le module de continuité de la fonction ${\displaystyle g}$ avec le pas ${\displaystyle \delta .}$

Un résultat encore plus général de quatre auteurs peut être formulé comme le théorème de type Jackson suivant.

Théorème 3 : Pour tout entier ${\displaystyle n}$ positif, si ${\displaystyle f}$ est une fonction ${\displaystyle 2\pi }$-périodique, il existe un polynôme trigonométrique ${\displaystyle T_{n}}$ de degré ${\displaystyle \leq n}$ tel que

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\tfrac {1}{n}},f\right),\qquad x\in [0,2\pi ],}$

où la constante ${\displaystyle c(k)}$ dépend de ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ et ${\displaystyle \omega _{k}}$ est le module de régularité d'ordre k.

Pour ${\displaystyle k=1}$ ce résultat a été prouvé par Dunham Jackson. Antoni Zygmund a prouvé l'inégalité dans le cas où ${\displaystyle k=2,\omega _{2}(t,f)\leq ct,t>0}$ en 1945. Naum Akhiezer a prouvé le théorème dans le cas ${\displaystyle k=2}$ en 1956. Pour ${\displaystyle k>2}$ ce résultat a été établi par Sergey Stechkin en 1967.