Inégalité de Nesbitt

L'inégalité de Nesbitt est un cas particulier de l'inégalité de Shapiro pour trois réels ; elle donne un minorant d'une expression rationnelle de ces réels. Elle s'énonce ainsi ^[1] :

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On suppose, sans perte de généralité, que ${\displaystyle a\geqslant b\geqslant c}$. On a alors :

${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}\ \leqslant \ {\frac {1}{a+c}}\ \leqslant \ {\frac {1}{b+c}}.}$

En appliquant deux fois l'inégalité de réarrangement, il vient :

${\displaystyle {\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {a}{b+c}}\geqslant {\frac {a}{a+b}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {b}{b+c}},}$

et

${\displaystyle {\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {a}{b+c}}\geqslant {\frac {b}{a+b}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {c}{b+c}}.}$

En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :

${\displaystyle 2\left({\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {a}{b+c}}\right)\geqslant {\frac {a+b}{a+b}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {b+c}{b+c}},}$

c'est-à-dire

${\displaystyle 2\left({\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {a}{b+c}}\right)\geqslant 3,}$

dont on déduit l'inégalité de Nesbitt.

Par l'inégalité arithmético-harmonique portant sur ${\displaystyle a+b,b+c,c+a}$,

${\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geqslant {\frac {3}{\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}$

Après simplification,

${\displaystyle ((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geqslant 9,}$

dont on obtient

${\displaystyle 2{\frac {a+b+c}{b+c}}+2{\frac {a+b+c}{a+c}}+2{\frac {a+b+c}{a+b}}\geqslant 9}$

après développement et rassemblement par dénominateur. D'où le résultat.

En appliquant l'inégalité de Cauchy–Schwarz aux vecteurs ${\displaystyle \displaystyle \left({\sqrt {a+b}},{\sqrt {b+c}},{\sqrt {c+a}}\right),\left({\frac {1}{\sqrt {a+b}}},{\frac {1}{\sqrt {b+c}}},{\frac {1}{\sqrt {c+a}}}\right)}$, il vient

${\displaystyle ((b+c)+(a+c)+(a+b))\left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geqslant 9,}$

forme qui est similaire à celle de la preuve précédente.

On applique d'abord une transformation de Ravi en posant ${\displaystyle x=a+b,y=b+c,z=c+a}$. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux six nombres ${\displaystyle x^{2}z,z^{2}x,y^{2}z,z^{2}y,x^{2}y,y^{2}x}$, on obtient

${\displaystyle {\frac {\left(x^{2}z+z^{2}x\right)+\left(y^{2}z+z^{2}y\right)+\left(x^{2}y+y^{2}x\right)}{6}}\geqslant {\sqrt[{6}]{x^{2}z\cdot z^{2}x\cdot y^{2}z\cdot z^{2}y\cdot x^{2}y\cdot y^{2}x}}=xyz.}$

Après division par ${\displaystyle xyz/6}$, on obtient

${\displaystyle {\frac {x+z}{y}}+{\frac {y+z}{x}}+{\frac {x+y}{z}}\geqslant 6.}$

On fait le changement d'inconnues inverse en réécrivant à présent ${\displaystyle x,y,z}$ en fonction de ${\displaystyle a,b,c}$ :

${\displaystyle {\frac {2a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+2c}{a+b}}+{\frac {a+2b+c}{c+a}}\geqslant 6}$

${\displaystyle {\frac {2a}{b+c}}+{\frac {2c}{a+b}}+{\frac {2b}{a+c}}+3\geqslant 6}$

qui, après simplification, donne le résultat.

Le lemme de Titu, conséquence directe de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, indique que pour toutes familles de ${\displaystyle n}$ réels ${\displaystyle (x_{k})}$ et de réels positifs ${\displaystyle (a_{k})}$, ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}^{2}}{a_{k}}}\geqslant {\frac {(\sum _{k=1}^{n}x_{k})^{2}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}}}}$. On utilise ce lemme pour ${\displaystyle n=3}$ avec les familles ${\displaystyle (a,b,c)}$ et ${\displaystyle (a(b+c),b(c+a),c(a+b))}$ :

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geqslant {\frac {(a+b+c)^{2}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}}}$

Après développement

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geqslant {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}},}$

ce qui donne

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geqslant {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}}+1.}$

Or, l'inégalité de réarrangement donne ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ca}$, ce qui prouve que le quotient de droite est inférieur ou égal à ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Finalement,

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geqslant {\frac {3}{2}}.}$

Puisque la partie gauche de l'inégalité est homogène, on peut supposer ${\displaystyle a+b+c=1}$. En posant ${\displaystyle x=a+b}$, ${\displaystyle y=b+c}$, et ${\displaystyle z=c+a}$. Il suffit de montrer ${\displaystyle {\frac {1-x}{x}}+{\frac {1-y}{y}}+{\frac {1-z}{z}}\geqslant {\frac {3}{2}}}$, c'est-à-dire, ${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\geqslant 9/2}$. Une simple application du lemme de Titu fournit le résultat.

On suppose ici aussi ${\displaystyle a+b+c=1}$. On recherche alors le minimum de

${\displaystyle {\frac {a}{1-a}}+{\frac {b}{1-b}}+{\frac {c}{1-c}}}$.

Or la fonction ${\displaystyle f}$ définie par ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1-x}}}$ est convexe sur ${\displaystyle \left]0,1\right[}$, donc d'après l'inégalité de Jensen :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=f\left({\frac {1}{3}}\right)=f\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)\leqslant {\frac {1}{3}}(f(a)+f(b)+f(c))={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{1-a}}+{\frac {b}{1-b}}+{\frac {c}{1-c}}\right)}$,

d’où l'inégalité voulue.

L'inégalité équivaut à ${\displaystyle 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geqslant a^{2}b+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}b+c^{2}a+ac^{2}}$.

Avec les notations introduites dans la page sur l'inégalité de Muirhead, cela équivaut à ${\displaystyle [3,0,0]\geqslant [2,1,0]}$, ce qui s'obtient par le théorème de Muirhead car ${\displaystyle (3,0,0)}$ majorise ${\displaystyle (2,1,0)}$^[1].

L'inégalité équivaut à ${\displaystyle 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})-a^{2}b-b^{2}a-b^{2}c-c^{2}b-c^{2}a-ac^{2}\geqslant 0}$,

or le premier membre peut se mettre sous la forme ${\displaystyle (a+b)(a-b)^{2}+(b+c)(b-c)^{2}+(c+a)(c-a)^{2}}$,

ce qui prouve l'inégalité, et montre de plus que le cas d'égalité est ${\displaystyle a=b=c}$^[1].