Inégalité de Tchebychev pour les sommes

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\ }$ et ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$ alors

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

De même, si ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$ et ${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n},}$ alors

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0, 1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

${\displaystyle \int _{0}^{1}fg\geq \int _{0}^{1}f\times \int _{0}^{1}g.}$

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0, 1], alors

${\displaystyle {\text{Cov}}\left(f(X),\,g(X)\right)\geq 0,}$

ou bien, de manière équivalente,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[f(X)g(X)\right]\geq \mathbb {E} \left[f(X)\right]\mathbb {E} \left[g(X)\right].}$