Isolant topologique

Isolants de Hall

Le type d’isolant topologique le plus connu est l’isolant de Hall, dont l’indice topologique est le nombre de Chern. Ce type d’isolant est isolant dans son volume, tout en étant conducteur sur ses frontières. Les isolants de Hall subissent un effet de Hall quantique entier, sans nécessairement avoir de niveaux de Landau^[9]. En deux dimensions, la conductance de Hall, c’est-à-dire la conductance perpendiculaire à la direction dans laquelle le champ électrique est appliqué, est proportionnelle au nombre de Chern. Soit ${\displaystyle h(\mathbf {k} )}$, un hamiltonien d’un système bidimensionnel qui a un gap à l’énergie de Fermi, et ${\displaystyle |\alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )\rangle }$ un de ces états propres dans la ${\displaystyle m}$-ième bande. Le nombre de Chern est donné par $${\displaystyle {\mathcal {C}}={\frac {i}{2\pi }}\sum _{m\in occ.}\oint _{\mathcal {ZB}}d^{2}k|\nabla _{\mathbf {k} }\times \langle \alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )|\nabla _{\mathbf {k} }|\alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )\rangle |,}$$où la somme est faite sur l’ensemble des bandes occupées. Définissons ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )\equiv -i\langle \alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )|\nabla _{\mathbf {k} }|\alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )\rangle }$: cet objet est appelé la connexion de Berry; et son rotationnel est la courbure de Berry. Séparons la zone de Brillouin en deux parties disjointes, ${\displaystyle S_{1}}$et ${\displaystyle S_{2}}$, et dénotons la courbe à la frontière entre ${\displaystyle S_{1}}$ et ${\displaystyle S_{2}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {l}}}$. Nous allons également dénoter la connexion de Berry dans la région ${\displaystyle S_{1}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}^{(m)}(\mathbf {k} )}$, et celle dans la région ${\displaystyle S_{2}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}^{(m)}(\mathbf {k} )}$, de sorte que $${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )={\begin{cases}{\mathcal {A}}_{1}^{(m)}(\mathbf {k} ){\text{ si }}\mathbf {k} \in S_{1},\\{\mathcal {A}}_{2}^{(m)}(\mathbf {k} ){\text{ si }}\mathbf {k} \in S_{2}\end{cases}}.}$$Cette définition de ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )}$ par parties ne semble pas naturelle à première vue, mais elle est pertinente^[10]. Sous changement de jauge, ${\displaystyle |\alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )\rangle \to e^{i\phi _{m}(\mathbf {k} )}|\alpha ^{(m)}(\mathbf {k} )\rangle }$ et ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )\to {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )+\nabla _{\mathbf {k} }\phi _{m}(\mathbf {k} )}$. Puisque seulement ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {k} }\times {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )}$ intervient dans l’expression mathématique de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, le nombre de Chern est un invariant de jauge. Notamment il est possible qu’une jauge soit choisie dans ${\displaystyle S_{1}}$ et une autre dans ${\displaystyle S_{2}}$, dans quel cas ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}^{(m)}(\mathbf {k} )}$ et ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}^{(m)}(\mathbf {k} )}$ peuvent différer d’une jauge sans affecter d’observables physiques. En général, nous avons donc ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}^{(m)}(\mathbf {k} )={\mathcal {A}}_{2}^{(m)}(\mathbf {k} )+\nabla _{\mathbf {k} }\theta _{m}(\mathbf {k} )}$, où ${\displaystyle \theta _{m}(\mathbf {k} )}$ est la différence entre les jauges dans les deux régions. En utilisant le théorème de Stokes, l’expression pour le nombre de Chern peut être écrite comme$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m\in occ.}\oint _{\mathcal {l}}d{\boldsymbol {l}}\cdot ({\mathcal {A}}_{2}^{(m)}-{\mathcal {A}}_{1}^{(m)})={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m\in occ.}\Delta \theta _{m}\in \mathbb {Z} ,}$$où ${\displaystyle \Delta \theta _{m}}$ est la jauge évaluée sur le boucle ${\displaystyle {\mathcal {l}}}$^[10]. Premièrement, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est quantifié (donc la conductance de Hall aussi), et deuxièmement que sa valeur peut être non nulle uniquement dans le cas où il y a une différence de jauge entre les deux régions, ${\displaystyle S_{1}}$ et ${\displaystyle S_{2}}$. Les observables physiques ne peuvent pas dépendre du choix de jauge, le choix de ${\displaystyle \theta _{m}(\mathbf {k} )}$ ne peut donc pas être arbitraire: celui-ci est dicté par l’exigence que ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(m)}(\mathbf {k} )}$ soit une fonction régulière sur l’ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {ZB}}}$^[11]. Il s’avère qu’un choix de jauge, ${\displaystyle \phi _{m}(\mathbf {k} )}$, ne peut pas être fait sur la zone de Brillouin au complet, et la jauge doit nécessairement être fixée par parties. Pour traiter ce genre de fonctions, les physiciens utilisent le concept de fibrés différentiel. Dans le langage de la géométrie différentielle, ${\displaystyle \phi _{m}(\mathbf {k} )}$ est une section d’un fibré non-trivial dont la base est ${\displaystyle {\mathcal {ZB}}}$, la fibre est ${\displaystyle U(1)}$, et la fonction de transition est donnée par ${\displaystyle \theta _{m}(\mathbf {k} )}$; le choix de ${\displaystyle \theta _{m}(\mathbf {k} )}$ est entièrement dicté par la structure différentielle de ce fibré, de sorte que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est unique. Le traitement mathématique de la quantification de la conductance de Hall est quasi identique à la quantification des charges électriques en présence d’un monopôle magnétique de Wu-Yang^[11]. Dans un certain sens, une conductance de Hall quantifiée correspond à un « monopôle magnétique » dans la zone de Brillouin.