Descendant du roi Stephen Báthory de Pologne, Csáky nait à Segesvár (aujourd'hui Sighisoara, Roumanie) dans le royaume de Hongrie. Il étudie le droit à Budapest et fréquente l'Académie consulaire impériale de Vienne. À la fin de la Première Guerre mondiale, il participe en tant que diplomate aux négociations de paix qui aboutissent au Traité du Trianon. Il travaille dans les ambassades de Hongrie au Vatican et à Bucarest, Madrid et Lisbonne, et occupe plusieurs postes au ministère des Affaires étrangères à Budapest.
En tant qu'observateur officiel de la Hongrie en 1938, il prend part aux négociations sur les accords de Munich signé en et aux négociations ultérieures sur le premier arbitrage de Vienne en tant que membre de la délégation hongroise. Le , il est nommé ministre des Affaires étrangères par le Premier ministre Béla Imrédy succédant à Kálmán Kánya au poste de ministre des Affaires étrangères.
En tant que ministre, Csáky a participé aux négociations qui aboutissent au deuxième arbitrage de Vienne d', qui vise à récupérer les territoires à la Roumanie perdus lors du Traité du Trianon. L'adhésion de la Hongrie au Pacte tripartite a lieu pendant le mandat de Csáky. Le , il signe un accord d'amitié entre la Hongrie et la Yougoslavie, sur ordre de l'Allemagne, et qui sera rompu par les Hongrois pour laisser les troupes allemandes envahirent la Yougoslavie. Csáky meurt en des suites d'une grave maladie.
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