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Joshua Cooley est né le à Berkeley en Californie. Durant son enfance, il a notamment été marqué par les cartoons des Looney Tunes, en particulier Bugs Bunny. C'est en regardant Qui veut la peau de Roger Rabbit de Robert Zemeckis, un film mêlant prises de vues réelles et animation 2D qu'il est convaincu qu'il travaillera plus tard dans l'animation.
En 2003, il est recruté comme stagiaire chez les studios Pixar, où il est remarqué par Joe Ranft qui deviendra son mentor.
En 2009, il écrit et réalise son premier court-métrage: George et A.J. dont les protagonistes sont les deux employés de la maison de Shady Oaks qui étaient venus récupérer Carl Fredericksen dans Là-haut. Ce court-métrage a la particularité d'être le premier court-métrage 2D de Pixar.
Face au succès du 15e film d’animation de Pixar, John Lasseter lui propose de devenir son co-réalisateur et le co-scénariste (avec Rashida Jones et Will McCormack) sur Toy Story 4. Finalement, en 2017, Lasseter décide de lui laisser l’entière réalisation du dernier volet de la série de films de Toy Story. Il a aussi co-imaginé, co-écrit l’histoire du film et collaboré au scénario avec les scénaristes Stephany Folsom et Andrew Stanton, ainsi que Valerie LaPointe, Rashida Jones, Martin Hynes, Will McCormack et John Lasseter. Le film est un colossal succès critique et commercial. Il gagne l'Oscar du meilleur film d’animation 2020 et reçoit une nomination aux Golden Globes pour le meilleur film d’animation.
En parallèle, il participa aux "Story Trusts" (réunions sur les histoires des films) sur les deux autres productions de Pixar Animation Studios: En avant et Soul. C’est pour ce dernier qu’il va aider les scénaristes du film (Pete Docter, Kemp Powers et Mike Jones) à la contribution des dialogues, en compagnie de Tina Fey, Meredith Scardino et Sam Means. Il quitte les studios Pixar en mars 2020 après 17 ans de collaboration.
Il a été aussi annoncé que Josh Cooley réalisera et écrira le scénario de l’adaptation du livre «Malamander», de l’écrivain Thomas Taylor, pour Sony Pictures Animation. Ce film marque sa première incursion dans le live-action en tant que scénariste-réalisateur.
