Kunstweg de Jost Bürgi

Pour un entier ${\displaystyle n}$ donné, soit ${\displaystyle (u_{1,k})_{0\leqslant k\leqslant n}}$ un vecteur colonne composé d'entiers positifs tels que les ${\displaystyle {\frac {u_{1,k}}{u_{1,n}}}}$ soient des approximations grossières des ${\displaystyle \sin(k{\frac {90^{\circ }}{n}})}$.

On calcule d'abord un vecteur colonne auxiliaire ${\displaystyle (v_{1,k})_{1\leqslant k\leqslant n}}$ en commençant par sa dernière composante en posant ${\displaystyle v_{1,n}=u_{1,n}/2}$ ; les précédentes sont obtenues en remontant par la relation : ${\displaystyle v_{1,k-1}=v_{1,k}+u_{1,k-1}}$.

On calcule ensuite un nouveau vecteur colonne ${\displaystyle (u_{2,k})_{0\leqslant k\leqslant n}}$ par : ${\displaystyle u_{2,0}=0}$ et la relation : ${\displaystyle u_{2,k+1}=u_{2,k}+v_{2,k+1}}$.

Les nombres rationnels ${\displaystyle {\frac {u_{2,k}}{u_{2,n}}}}$ sont alors de nouvelles approximations des ${\displaystyle \sin(k{\frac {90^{\circ }}{n}})}$, plus précises que les premières. On pourra réitérer le processus par le calcul d'un vecteur colonne auxiliaire ${\displaystyle (v_{2,k})_{k\leqslant n}}$, puis d'un nouveau vecteur ${\displaystyle (u_{3,k})_{k\leqslant n}}$ etc. pour obtenir des approximations de plus en plus précises.

Le document original de Bürgi (reproduit dans la Figure 1) donne un exemple pour ${\displaystyle n=9}$. Le tableau se lit de droite à gauche :

• les premières approximations ${\displaystyle (u_{1,k})}$ se trouvent dans la colonne de droite notée ${\displaystyle Sinus_{1}}$
• le vecteur-colonne auxiliaire ${\displaystyle (v_{1,k})}$ se trouve à gauche de celle-ci
• les deuxièmes approximations ${\displaystyle (u_{2,k})}$ se trouvent dans la colonne notée ${\displaystyle Sinus_{2}}$ et ainsi de suite.

Sur ce document original de Bürgi, les nombres sont exprimés dans le système sexagésimal, ce qui rajoute une petite difficulté à son interprétation. Les angles ${\displaystyle (k\times {\frac {90^{\circ }}{9}})}$ dont on veut calculer les sinus se trouvent dans la colonne la plus à gauche du tableau.

Le tableau suivant donne une traduction du manuscrit en écriture décimale (voir Figure 2).

Les valeurs fournies par la 5^e approximation de ${\displaystyle \sin 10^{\circ }\;;\sin 20^{\circ }\;;\sin 30^{\circ }\;;\dots }$ sont respectivement ${\displaystyle {\frac {2235060}{12871192}}}$ ; ${\displaystyle {\frac {4402208}{12781192}}}$ ; ${\displaystyle {\frac {6435596}{12871192}}}$ etc., soit en écriture décimale : ${\displaystyle 0,173648253...}$ ; ${\displaystyle 0,342020226}$ ; ${\displaystyle ...0,5}$ etc. Pour chacune de ces valeurs, les 6 premières décimales sont correctes.

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Jost Bürgi n'a pas apporté la preuve de la convergence de son algorithme. Il faudra attendre la redécouverte du Kunstweg en 2014 pour que des mathématiciens démontrent sa convergence^[2]. Pour ce faire, ils utilisent le théorème de Perron-Frobenius (1907): On considère l'application linéaire qui permet de passer d'une colonne "approximation" à la suivante. Elle est définie par la matrice carrée à coefficients positifs ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&\cdots &1&{\frac {1}{2}}\\1&2&2&2&2&\cdots &2&1\\1&2&3&3&3&\cdots &3&{\frac {3}{2}}\\1&2&3&4&4&\cdots &4&2\\\cdots \\&&&&&&k&{\frac {k}{2}}\\\cdots \\1&2&3&4&5&\cdots &n-1&{\frac {n-1}{2}}\\1&2&3&4&5&\cdots &n-1&{\frac {n}{2}}\end{pmatrix}}}$.

Cette matrice satisfait les conditions requises pour l'application du théorème de Perron-Frobenius. Ils montrent alors que son vecteur-propre de Frobenius est ${\displaystyle V={\begin{pmatrix}\sin({\frac {90^{\circ }}{n}})\\\sin({\frac {180^{\circ }}{n}})\\\vdots \\\sin({\frac {k\times 90^{\circ }}{n}})\\\vdots \\\sin(90^{\circ })\end{pmatrix}}}$.

Ils apportent ainsi la preuve de la validité de l'algorithme de Bürgi et de sa convergence.