Lemme d'Urysohn

Il existe un premier énoncé spécifique aux espaces T₄ (et dont la réciproque est immédiate) :

Un premier corollaire est que tout espace normal (i.e. T₄ et séparé) est complètement régulier.

Un autre corollaire est le suivant^[2] :

• Si X est un espace localement compact alors, pour tout compact K de X, il existe une application continue de X dans [0, 1], à support compact, et qui vaut 1 sur K.

Ce lemme est aussi utilisé en géométrie différentielle sous la forme suivante^[3] :

• Soient K un compact d'un espace euclidien E et Ω un ouvert de E contenant K. Il existe une fonction infiniment différentiable de E dans [0, 1], dont le support est inclus dans Ω, et qui vaut 1 sur K.

Une des grandes questions qui se posent au début du XX^e siècle en topologie est la classification des différents espaces. Un invariant important pour ce classement est la dimension. Si un espace topologique connexe possède en tout point un ouvert, contenant ce point et homéomorphe à un ouvert d'un espace euclidien, tous les espaces euclidiens ont la même dimension et cette dimension est unique^[4]. Si ce résultat est très intuitif : si un espace topologique est de même nature qu'une courbe, ce n'est alors pas un plan, la démonstration est difficile. Depuis Peano, la connaissance d'une fonction continue et surjective de R dans [0, 1]² illustre un des écueils à éviter, pour trouver des démonstrations rigoureuses.

Heinrich Tietze travaille sur cette question et, dans ce contexte, montre en 1914 que si f est une application continue définie sur un fermé d'un espace métrique, elle est continument prolongeable sur l'espace entier^[5]. Il trouve la définition d'espace normal en 1923^[6]. Pavel Urysohn, un mathématicien russe, parvient à démontrer le théorème clé de la dimension qu'il publie^[7] en 1924. Il retrouve des résultats déjà démontrés par Luitzen Brouwer en 1912, mais qu'Urysohn ne connaissait pas^[8]. Cette publication contient le lemme de l'article.

On doit encore à Tietze aussi le théorème de prolongement, qui porte maintenant son nom et dont le lemme de l'article n'est qu'un cas particulier^[8]. Jean Dieudonné développe l'usage du théorème en géométrie différentielle et développe simultanément et indépendamment avec Salomon Bochner la notion de partition de l'unité^[9] en 1937. Il introduit aussi la définition d'espace paracompact^[9] en 1944, elle remplace souvent celle d'espace normal, qui contient trop d'exceptions pathologiques pour être véritablement fertile en topologie algébrique^[6].

On trouve le lemme d'Urysohn dans deux contextes géométriques différents.

• En topologie algébrique, ce lemme est utilisé pour établir des résultats topologiques fondamentaux. Ainsi l'une des démonstrations du théorème de Jordan, qui indique qu'un lacet sépare l'espace en deux composantes connexes, utilise le théorème de prolongement de Tietze, lequel — malgré l'existence d'une démonstration directe plus simple^[10] — se déduit, par tradition, du lemme d'Urysohn.
• En géométrie différentielle, le lemme d'Urysohn est utilisé pour établir un des outils les plus importants^[11] de la géométrie différentielle. Cet outil porte le nom de partition de l'unité. Il permet par exemple d'établir l'existence d'une densité sur une variété différentielle.

Soit D une partie dénombrable dense de ]0, 1[, par exemple l'ensemble des fractions dyadiques^[12],[13], ou simplement ℚ∩]0, 1[^[14].

• On définit une famille (U(r))_r∈D d'ouverts telle que${\displaystyle \forall r\in D\quad F\subset U(r){\text{ et }}{\overline {U(r)}}\subset X\setminus G}$et${\displaystyle \forall r,s\in D\quad r<s\Rightarrow {\overline {U(r)}}\subset U(s).}$On procède pour cela par récurrence, après avoir choisi une bijection r de ℕ dans D : soit n un entier naturel et supposons que les U(r_k) pour k < n vérifient les deux conditions ci-dessus. Le fermé${\displaystyle F_{n}=F\cup \bigcup _{k<n,r_{k}<r_{n}}{\overline {U(r_{k})}}}$est alors inclus dans l'ouvert${\displaystyle O_{n}=(X\setminus G)\cap \bigcap _{k<n,r_{k}>r_{n}}U(r_{k}).}$Puisque X vérifie la propriété T₄, il existe donc un ouvert U(r_n) tel que${\displaystyle F_{n}\subset U(r_{n}){\text{ et }}{\overline {U(r_{n})}}\subset O_{n}.}$
• On définit ensuite une fonction f de X dans [0, 1] par${\displaystyle f(x)=\inf \left(\{s\in D\mid x\in U(s)\}\cup \{1\}\right)=\sup \left(\{r\in D\mid x\notin {\overline {U(r)}}\}\cup \{0\}\right).}$Par construction, f vaut 0 sur F et 1 sur G. Elle est continue car semi-continue à la fois supérieurement et inférieurement.

Soit K une partie compacte d'un espace localement compact X. L'objectif est de montrer l'existence d'une fonction f continue, à support compact, qui vaut 1 sur K^[15]. Puisque X est localement compact, pour tout point k de K, il existe un ouvert U_k contenant k et dont l'adhérence est compacte. La famille (U_k) forme un recouvrement ouvert du compact K, donc il est possible d'en extraire un sous-recouvrement fini (U_kn). La réunion des U_kn est un ouvert U contenant K et dont l'adhérence L est compacte donc normale. Le lemme d'Urysohn montre qu'il existe une fonction f_L, qui vaut 1 sur K et 0 sur le complémentaire de U dans L. On prolonge f_L par une fonction f, définie sur X et qui vaut 0 sur le complémentaire de L dans X. La fonction f est continue sur le fermé L, et nulle donc continue sur le complémentaire de U dans X. Elle est donc continue sur la réunion X de ces deux fermés. Le support de la fonction f est un fermé du compact L, la fonction f est donc à support compact.