Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

Soit $K$ un corps valué complet non archimédien et soit ${\bar {K}}$ une clôture algébrique séparable de $K$ . Étant donné un élément $\alpha$ dans ${\bar {K}}$ , notons $\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante^[1]^,^[2]^,^[3].

Lemme de Krasner — Si un élément $\beta$ de ${\bar {K}}$ est tel que $\left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|$ pour $i=2,\dots ,n$ , alors $K(\alpha )\subseteq K(\beta )$ .

Applications

Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent^[4]. En d'autres termes, étant donné un idéal premier ${\mathfrak {p}}$ d'un corps global $L$ , la clôture séparable de la complétion ${\mathfrak {p}}$ -adique de $L$ est égale à la complétion ${\bar {\mathfrak {p}}}$ -adique de la clôture séparable de $L$ , où ${\bar {\mathfrak {p}}}$ est un idéal premier de ${\bar {L}}$ au-dessus de (qui contient) ${\mathfrak {p}}$ .
Une autre application consiste à prouver que $\mathbf {C} _{p}$ , la complétion de la clôture algébrique de $\mathbf {Q} _{p}$ , est algébriquement clos^[5]^,^[6].

Généralisation

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante^[7]. Considérons un polynôme unitaire

f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})

de degré $n>1$ à coefficients dans un corps hensélien $(K,v)$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique ${\bar {K}}$ . Soient I et $J$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est $\{1,\ldots ,n\}$ . Considérons de plus un polynôme