Élément conjugué

• Si α est un élément de K, son polynôme minimal sur K est X – α donc son seul conjugué sur K est lui-même.
• Si α = a + ib est un nombre complexe non réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire b est non nulle, alors son polynôme minimal sur ℝ est (X – α)(X – α) = X² – 2aX + a²+b² donc ses conjugués sur ℝ sont α lui-même et son nombre complexe conjugué α.
• Les racines cubiques de l'unité dans ℂ sont

${\displaystyle 1,\quad \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {j} ^{2}={\overline {\mathrm {j} }}=\mathrm {e} ^{\frac {-2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}.}$

Sur ℚ, j et j² ont pour polynôme minimal commun X² + X + 1 et sont conjugués. Plus généralement, les racines primitives n-ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le n-ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur ℚ.

• Le polynôme minimal de α sur K est scindé sur toute extension normale L de K contenant α (par exemple une clôture algébrique de K, ou même seulement un corps de décomposition du polynôme)^[1]. Les conjugués de α sont alors les images de α par les éléments du groupe de Galois de l'extension.
• Soient α un entier algébrique non nul et |α|, le plus grand des modules de ses conjugués sur ℚ. Kronecker a démontré^[2],[3],[4] que

1. si |α| est inférieur ou égal à 1 alors α est une racine de l'unité ;
2. si |α| est inférieur ou égal à 2 et α est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de α sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors α est de la forme 2 cos(πr) pour un certain rationnel r.
   

Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de Dirichlet^[5],[6]) : pour tout entier n et tout réel C, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques α tels que le degré (du polynôme minimal) de α soit inférieur ou égal à n et que |α| ≤ C.

Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de α, une majoration de |α| moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité^[3].